A partir de la derivada \(f'(x)\) d'una funció \(f(x)\) es pot deduir la derivada de la funció inversa.
\( \displaystyle \begin{align} f \left( f^{-1}(x) \right) = x \quad &\Rightarrow\quad f'\left( f^{-1}(x) \right) \cdot \left( f^{-1} \right)'(x) = 1\\ &\Rightarrow\quad \left( f^{-1} \right)'(x) = \frac{1}{f'\left( f^{-1}(x) \right)}\\ \end{align} \)
\(\displaystyle\bbox[15px,border:1px solid]{ \left( f^{-1} \right)'(x) = \frac{1}{f'\left( f^{-1}(x) \right)} }\)
Exemple
Sabent que la derivada de la funció \(f(x)=\ln x\) és \(\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x}\), es pot deduir la derivada de la seva funció inversa \(f^{-1}(x)=\mathrm{e}^x\).
\(\displaystyle \left( f^{-1} \right)'(x) = \frac{1}{f'\left( f^{-1}(x) \right)} = \frac{1}{\frac{1}{\mathrm{e}^x}}= \mathrm{e}^x\)
Exercici 30
Sabent que la derivada de la funció \(f(x)=x^3\) és \(\displaystyle f'(x)=3 x^2\), i fent servir la regla de la derivada de la funció inversa dedueix la derivada de \(f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}\).
Solució:Sabent que la derivada de la funció \(f(x)=\sin x\) és \(\displaystyle f'(x)=\cos x\), es pot deduir la derivada de la seva funció inversa \(f^{-1}(x)=\arcsin x\).
|
\( \displaystyle \begin{align} \left( f^{-1} \right)'(x) &= \frac{1}{f'\left( f^{-1}(x) \right)} \\ &= \frac{1}{\cos\left(\arcsin x\right)} \\ &= \frac{1}{\pm\sqrt{1-\sin^2 \left(\arcsin x\right)}} \\ &= \frac{1}{\pm\sqrt{1-x^2}} \end{align} \) |
Només falta determinar el signe d'aquesta expressió. Com que la gràfica de la funció \(\arcsin x\) és creixent en tot el seu domini, la seva derivada ha de ser positiva. Per tant:
\(\displaystyle\bbox[15px,border:1px solid]{f(x)=\arcsin x \quad\Rightarrow\quad f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} }\)
\(\displaystyle\bbox[15px,border:1px solid]{f(x)=\arcsin \left[u(x)\right] \quad\Rightarrow\quad f'(x)=\frac{u'(x)}{\sqrt{1-\left[u(x)\right]^2}} }\)
Sabent que la derivada de la funció \(f(x)=\cos x\) és \(\displaystyle f'(x)=-\sin x\), es pot deduir la derivada de la seva funció inversa \(f^{-1}(x)=\arccos x\).
|
\( \displaystyle \begin{align} \left( f^{-1} \right)'(x) &= \frac{1}{f'\left( f^{-1}(x) \right)} \\ &= \frac{1}{-\sin\left(\arccos x\right)} \\ &= \frac{1}{\pm\sqrt{1-\cos^2 \left(\arccos x\right)}} \\ &= \frac{1}{\pm\sqrt{1-x^2}} \end{align} \) |
Només falta determinar el signe d'aquesta expressió. Com que la gràfica de la funció \(\arccos x\) és decreixent en tot el seu domini, la seva derivada ha de ser negativa. Per tant:
\(\displaystyle\bbox[15px,border:1px solid]{f(x)=\arccos x \quad\Rightarrow\quad f'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} }\)
\(\displaystyle\bbox[15px,border:1px solid]{f(x)=\arccos \left[u(x)\right] \quad\Rightarrow\quad f'(x)=-\frac{u'(x)}{\sqrt{1-\left[u(x)\right]^2}} }\)
Exercici 31
Sabent que la derivada de la funció \(f(x)=\tan x\) és pot expressar com \(\displaystyle f'(x)=1+\tan^2 x\), i fent servir la regla de la derivada de la funció inversa dedueix la derivada de \(f^{-1}(x)=\arctan x\).
Solució: