Càlcul de funcions derivades VII

Derivada de la funció inversa

A partir de la derivada \(f'(x)\) d'una funció \(f(x)\) es pot deduir la derivada de la funció inversa.

\( \displaystyle \begin{align} f \left( f^{-1}(x) \right) = x \quad &\Rightarrow\quad f'\left( f^{-1}(x) \right) \cdot \left( f^{-1} \right)'(x) = 1\\ &\Rightarrow\quad \left( f^{-1} \right)'(x) = \frac{1}{f'\left( f^{-1}(x) \right)}\\ \end{align} \)

\(\displaystyle\bbox[15px,border:1px solid]{ \left( f^{-1} \right)'(x) = \frac{1}{f'\left( f^{-1}(x) \right)} }\)

Exemple

Sabent que la derivada de la funció \(f(x)=\ln x\) és \(\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x}\), es pot deduir la derivada de la seva funció inversa \(f^{-1}(x)=\mathrm{e}^x\).

\(\displaystyle \left( f^{-1} \right)'(x) = \frac{1}{f'\left( f^{-1}(x) \right)} = \frac{1}{\frac{1}{\mathrm{e}^x}}= \mathrm{e}^x\)

Exercici 30

Sabent que la derivada de la funció \(f(x)=x^3\) és \(\displaystyle f'(x)=3 x^2\), i fent servir la regla de la derivada de la funció inversa dedueix la derivada de \(f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}\).

Solució:

Derivada de la funció \(f(x)=\arcsin x\)

Sabent que la derivada de la funció \(f(x)=\sin x\) és \(\displaystyle f'(x)=\cos x\), es pot deduir la derivada de la seva funció inversa \(f^{-1}(x)=\arcsin x\).

\( \displaystyle \begin{align} \left( f^{-1} \right)'(x) &= \frac{1}{f'\left( f^{-1}(x) \right)} \\ &= \frac{1}{\cos\left(\arcsin x\right)} \\ &= \frac{1}{\pm\sqrt{1-\sin^2 \left(\arcsin x\right)}} \\ &= \frac{1}{\pm\sqrt{1-x^2}} \end{align} \)

Només falta determinar el signe d'aquesta expressió. Com que la gràfica de la funció \(\arcsin x\) és creixent en tot el seu domini, la seva derivada ha de ser positiva. Per tant:

\(\displaystyle\bbox[15px,border:1px solid]{f(x)=\arcsin x \quad\Rightarrow\quad f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} }\)

\(\displaystyle\bbox[15px,border:1px solid]{f(x)=\arcsin \left[u(x)\right] \quad\Rightarrow\quad f'(x)=\frac{u'(x)}{\sqrt{1-\left[u(x)\right]^2}} }\)

Derivada de la funció \(f(x)=\arccos x\)

Sabent que la derivada de la funció \(f(x)=\cos x\) és \(\displaystyle f'(x)=-\sin x\), es pot deduir la derivada de la seva funció inversa \(f^{-1}(x)=\arccos x\).

\( \displaystyle \begin{align} \left( f^{-1} \right)'(x) &= \frac{1}{f'\left( f^{-1}(x) \right)} \\ &= \frac{1}{-\sin\left(\arccos x\right)} \\ &= \frac{1}{\pm\sqrt{1-\cos^2 \left(\arccos x\right)}} \\ &= \frac{1}{\pm\sqrt{1-x^2}} \end{align} \)

Només falta determinar el signe d'aquesta expressió. Com que la gràfica de la funció \(\arccos x\) és decreixent en tot el seu domini, la seva derivada ha de ser negativa. Per tant:

\(\displaystyle\bbox[15px,border:1px solid]{f(x)=\arccos x \quad\Rightarrow\quad f'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} }\)

\(\displaystyle\bbox[15px,border:1px solid]{f(x)=\arccos \left[u(x)\right] \quad\Rightarrow\quad f'(x)=-\frac{u'(x)}{\sqrt{1-\left[u(x)\right]^2}} }\)

Exercici 31

Sabent que la derivada de la funció \(f(x)=\tan x\) és pot expressar com \(\displaystyle f'(x)=1+\tan^2 x\), i fent servir la regla de la derivada de la funció inversa dedueix la derivada de \(f^{-1}(x)=\arctan x\).

Solució:

Exercici 32

Calcula la derivada de les següents funcions:

a) \(\displaystyle f(x) = \arcsin \left( 2x+1 \right) \) Solució:
b) \(\displaystyle f(x) = 2\arccos \sqrt{x} \) Solució:
c) \(\displaystyle f(x) = \arccos \frac{x+2}{x} \) Solució:
d) \(\displaystyle f(x) = \arctan \sqrt x \) Solució: