Per calcular la derivada de la funció exponencial \(f(x)=\mathrm{e}^x\) es fa servir el mètode de derivació logarítmica.
\( \displaystyle \begin{align} f(x)=\mathrm{e}^x \quad &\Rightarrow\quad \ln f(x) = \ln \mathrm{e}^x \\[6pt] &\Rightarrow\quad \ln f(x) = x \\[6pt] &\Rightarrow\quad \frac{f'(x)}{f(x)} = 1 \\[6pt] &\Rightarrow\quad f'(x) = f(x) \\[6pt] &\Rightarrow\quad f'(x) = \mathrm{e}^x \\[6pt] \end{align} \)
\(\bbox[15px,border:1px solid]{f(x)=\mathrm{e}^x \quad\Rightarrow\quad f'(x)= \mathrm{e}^x }\)
\(\bbox[15px,border:1px solid]{f(x)=\mathrm{e}^{u(x)} \quad\Rightarrow\quad f'(x)= \mathrm{e}^{u(x)} \cdot u'(x) }\)
Les funcions exponencials del tipus \(f(x)=k\cdot\mathrm{e}^x\), amb \(k\in\mathbb{R}\) són les úniques funcions que coincideixen amb la seva derivada.
Per calcular la derivada de la funció exponencial \(f(x)=a^x\) també es fa servir el mètode de derivació logarítmica.
\( \displaystyle \begin{align} f(x)=a^x \quad &\Rightarrow\quad \ln f(x) = \ln a^x \\[6pt] &\Rightarrow\quad \ln f(x) = x\cdot\ln a \\[6pt] &\Rightarrow\quad \frac{f'(x)}{f(x)} = \ln a \\[6pt] &\Rightarrow\quad f'(x) = f(x) \cdot\ln a \\[6pt] &\Rightarrow\quad f'(x) = a^x \cdot\ln a \\[6pt] \end{align} \)
\(\bbox[15px,border:1px solid]{f(x)=a^x \quad\Rightarrow\quad f'(x)=a^x \cdot\ln a}\)
\(\bbox[15px,border:1px solid]{f(x)=a^{u(x)} \quad\Rightarrow\quad f'(x)= a^{u(x)} \cdot u'(x) \cdot\ln a}\)
Exemple
La derivada de la funció \(f(x) = 10^{\sin x} \) és:
\(\displaystyle f'(x) = 10^{\sin x} \cdot \cos x \cdot \ln 10 \)
Exercici 28
Calcula la derivada de les següents funcions:
| a) \(\displaystyle f(x) = \mathrm{e}^{x^2+5x} \) | Solució: | |
| b) \(\displaystyle f(x) = \frac{2^{3x-2}}{2^x} \) | Solució: | |
| c) \(\displaystyle f(x) = x^2 \cdot 2^x \) | Solució: | |
| d) \(\displaystyle f(x) = \left( x^2+x \right) \cdot \mathrm{e}^{2x} \) | Solució: | |
| e) \(\displaystyle f(x) = \mathrm{e}^{2x} \cdot \ln(2x) \) | Solució: |
Per calcular la derivada de la funció exponencial \(f(x)=\left[u(x)\right]^{v(x)}\) també es fa servir el mètode de derivació logarítmica.
\( \displaystyle \begin{align} f(x)=\left[u(x)\right]^{v(x)} \quad &\Rightarrow\quad \ln f(x) = \ln \left[u(x)\right]^{v(x)} \\[6pt] &\Rightarrow\quad \ln f(x) = v(x)\cdot\ln u(x) \\[6pt] &\Rightarrow\quad \frac{f'(x)}{f(x)} = v'(x) \cdot \ln u(x) + v(x) \cdot \frac{u'(x)}{u(x)}\\[6pt] &\Rightarrow\quad f'(x) = f(x) \cdot \left[ v'(x) \cdot \ln u(x) + v(x) \cdot \frac{u'(x)}{u(x)} \right] \\[6pt] &\Rightarrow\quad f'(x) = \left[u(x)\right]^{v(x)} \cdot \left[ v'(x) \cdot \ln u(x) + v(x) \cdot \frac{u'(x)}{u(x)} \right] \\[6pt] \end{align} \)
\(\displaystyle\bbox[15px,border:1px solid]{\left[u(x)\right]^{v(x)} \quad\Rightarrow\quad f'(x)=\left[u(x)\right]^{v(x)} \cdot \left[ v'(x) \cdot \ln u(x) + v(x) \cdot \frac{u'(x)}{u(x)} \right]}\)