S'anomena taxa de variació o increment d'una funció \(f(x)\) en un interval \( \left[ x_1, x_2 \right] \) a la diferència \(f(x_2)-f(x_1)\):
\(\displaystyle \Delta f(x) = f(x_2)-f(x_1) \)
El seu valor quantifica l'augment o disminució que experimenta la funció en passar la variable independent del valor \(x_1\) al valor \(x_2\).
De més utilitat resulta calcular l'anomenada taxa de variació mitjana o quocient incremental d'una funció \(f(x)\) en un interval \( \left[ x_1, x_2 \right] \):
\(\displaystyle \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} = \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \)
El valor d'aquest quocient ens indica la variació relativa de la funció respecte a la variable independent.
La taxa de variació mitjana coincideix amb el pendent de la recta secant a la funció que passa pels punts \( P\Big( x_1 , f(x_1) \Big) \) i \( Q\Big( x_2 , f(x_2) \Big) \).
\(\displaystyle m_{PQ} = \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \)
A més:
\( \displaystyle \begin{array}{lcl} f(x) \;\mathsf{creixent}\;\mathsf{a}\; \left[ x_1, x_2 \right] & \Rightarrow & \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \gt 0 \\[8pt] f(x) \;\mathsf{decreixent}\;\mathsf{a}\; \left[ x_1, x_2 \right] & \Rightarrow & \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \lt 0 \end{array} \)
Les afirmacions recíproques no tenen perquè ser certes.
Exemple
La variació mitjana de la funció \(f(x)=x^3-3x^2+4\) en l'interval \(\left[1,3\right]\) es calcula fent:
\(\displaystyle \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} = \frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{4-2}{2} = 1 \)
El resultat és una quantitat positiva, però la funció \(f(x)\) no sempre és creixent en l'interval \(\left[1,3\right]\).
Exercici 1
Calcula la variació mitjana de la funció \(f(x)=x^3-3x^2+4\) de l'exemple anterior en els intervals següents
Exercici 2
La funció \( f(x)=(x-1)^3 \) sempre és creixent. Calcula'n la variació mitjana als intervals \(\left[-2,0\right]\), \(\left[1,3\right]\) i \(\left[4,6\right]\). En quin dels tres intervals té un creixement més ràpid?
Solució:Exercici 3
Demostra que la variació mitjana de la funció \( f(x)=-2x+3\) és independent de l'interval \([x_1,x_2]\) considerat.
Solució:Sigui \(x(t)\) la posició d'un mòbil en funció del temps \(t\). La taxa de variació mitjana en l'interval \(\left[t_1,t_2\right]\) coincideix amb la velocitat mitjana del mòbil en aquest interval.
\( \displaystyle v_m \left( \left[t_1,t_2\right] \right) = \frac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2-t_1} = \frac{\Delta x}{\Delta t} \)
Exercici 4
Un objecte llançat verticalment cap amunt segueix una trajectòria descrita per l'expressió \(h(t)=60t-5t^2\), on \(h\) està expressat en metres i \(t\) en segons. Calcula la velocitat mitjana en els següents intervals: