Exercicis de vectors i rectes IV
Exercici 1
Troba el punt simètric de \(P(3,-2)\) respecte a \(C(-2,5)\).
Solució:
Exercici 2
Donats dos vèrtexs d'un triangle \(A(6,3)\) i \(B(3,0)\) i el baricentre \(G(2,0)\), calcula el tercer vèrtex.
Solució:
Exercici 3
Donats els punts \(A(7,1)\) i \(B(-5,7)\), troba les coordenades dels punts que el divideixen en tres parts iguals.
Solució:
\(A_1(3,3)\) i \(A_2(-1,5)\).
Exercici 4
Donats els punts \(P(0,9)\) i \(Q(5,5)\), troba les coordenades dels punts que el divideixen en quatre parts iguals.
Solució:
\(P_1\left(\dfrac{5}{4},8\right)\), \(P_2\left(\dfrac{5}{2},7\right)\) i \(P_3\left(\dfrac{15}{4},6\right)\)
Exercici 5
Donats els punts \(M(3,4)\) i \(N(5,3)\), troba les coordenades dels punts que el divideixen en cinc parts iguals.
Solució:
\(M_1\left(\dfrac{17}{5},\dfrac{19}{5}\right)\), \(M_2\left(\dfrac{19}{5},\dfrac{18}{5}\right)\), \(M_3\left(\dfrac{21}{5},\dfrac{17}{5}\right)\) i \(M_4\left(\dfrac{23}{5},\dfrac{16}{5}\right)\).
Exercici 6
Els punts \(P(-5,1)\) i \(Q(9,3)\) són dos punts diametralment oposats d'una circumferència. Esbrina si els punt \(R(7,-3)\) i \(S(6,8)\) pertanyen també a aquesta circumferència.
Solució:
El centre \(C\) d'aquesta circumferència es troba al punt mitjà entre \(P\) i \(Q\).
\( C\left(\dfrac{-5+9}{2},\dfrac{1+3}{2}\right) \quad\Rightarrow\quad C\left(2,2\right) \)
El seu radi \(r\) és igual a la distància entre \(C\) i \(P\), o entre \(C\) i \(Q\).
\( r = \text{d}(C,P) = \left| \overrightarrow{QC} \right| = \sqrt{7^2+1^2} = 5\sqrt{2} \)
Si la distància entre \(C\) i un punt qualsevol és igual a \(r\) aleshores el punt pertany a la circumferència.
\(\text{d}(C,R) = \left| \overrightarrow{RC} \right| = \sqrt{5^2+5^2} = 5\sqrt{2} \\ \text{d}(C,S) = \left| \overrightarrow{RC} \right| = \sqrt{4^2+6^2} = 2\sqrt{13} \)
Per tant el punt \(R\) pertany a la circumferència i el punt \(S\) no.
Exercici 7
Donats els punts \(A(3,2)\) i \(B(5,4)\), troba un punt \(C\) alineat amb \(A\) i \(B\) i que verifiqui que \( 2\cdot\overrightarrow{CA} = 3\cdot\overrightarrow{CB} \)
Solució:
\(
\begin{align}
2\cdot\overrightarrow{CA} = 3\cdot\overrightarrow{CB}
&\quad\Rightarrow\quad 2\cdot(3-x,2-y) = 3\cdot(5-x,4-y) \\[8pt]
&\quad\Rightarrow\quad \left\lbrace \begin{array}{l} 6-2x=15-3x \\[6pt] 4-2y=12-3y \end{array}\right. \\[8pt]
&\quad\Rightarrow\quad \left\lbrace \begin{array}{l} x=9 \\[6pt] y=8 \end{array}\right. \\[8pt]
&\quad\Rightarrow\quad C(9,8)
\end{align}
\)