Exercicis de vectors i rectes III
Exercici 1
Donats els vectors \(\vec{u}=(-2,k)\) i \(\vec{v}=(5,-3)\), calcula el valor de \(k\) perquè \(\vec{u}\cdot\vec{v}=-6\).
Solució:
Exercici 2
Calcula la projecció del vector \(\vec{r}=(2,-5)\) sobre el vector \(\vec{s}=(5,1)\) i la projecció de \(\vec{s}\) sobre \(\vec{r}\).
Solució:
\( \displaystyle \text{proj}\,\vec{r}_{\vec{s}} = \dfrac{5\sqrt{26}}{26} \approx \text{0,9806} \\[8pt] \text{proj}\,\vec{s}_{\vec{r}} = \dfrac{5\sqrt{29}}{29} \approx \text{0,9285} \)
Exercici 3
Troba els angles del triangle de vèrtexs \(A(6,0)\), \(B(3,5)\) i \(C(-1,-1)\).
Solució:
\(\hat{A}=\text{67,1663}^{\circ}\quad\quad\quad\hat{B}=\text{64,6538}^{\circ}\quad\quad\quad\hat{C}=\text{48,1798}^{\circ}\)
Exercici 4
Classifica els següents triangles segons els seus costats i els seus angles.
Triangle de vèrtexs \(A(-2,-2)\), \(B(3,3)\) i \(C(5,-3)\).
Solució:
Triangle de vèrtexs \(A(3,2)\), \(B(5,8)\) i \(C(6,1)\).
Solució:
Triangle de vèrtexs \(A(5,1)\), \(B(1,4)\) i \(C(8,5)\).
Solució:
Exercici 5
Donats els vectors \(\vec{u}=(5,1)\) i \(\vec{v}=(2,k)\), calcula el valor de \(k\) perquè els vectors \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) siguin:
Perpendiculars.
Solució:
\( \vec{u}\perp\vec{v} \quad\Rightarrow\quad \vec{u}\cdot\vec{v}=0 \quad\Rightarrow\quad 10+k=0 \quad\Rightarrow\quad k=-10\)
Paral·lels.
Solució:
\( \vec{u}\parallel\vec{v} \quad\Rightarrow\quad \vec{u},\vec{v}\;\;\text{v.l.d.} \quad\Rightarrow\quad \dfrac{5}{2}=\dfrac{1}{k} \quad\Rightarrow\quad k=\dfrac{2}{5} \)
Formin un angle de \(45^{\circ}\).
Solució:
\(
\begin{align}
\alpha=45^{\circ} \quad
&\Rightarrow\quad \cos 45^{\circ}=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|} \\[8pt]
&\Rightarrow\quad \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{10+k}{\sqrt{26}\cdot\sqrt{4+k^2}} \\[8pt]
&\Rightarrow\quad \sqrt{208+52k^2}=20+2k \\[8pt]
&\Rightarrow\quad 208+52k^2=(20+2k)^2 \\[8pt]
&\Rightarrow\quad 208+52k^2=4k^2+80k+400 \\[8pt]
&\Rightarrow\quad 48k^2-80k-192=0 \\[8pt]
&\Rightarrow\quad 3k^2-5k-12=0 \\[8pt]
&\Rightarrow\quad k = \dfrac{5\pm\sqrt{5^2-4·3·(-12)}}{6} = \dfrac{5\pm13}{6} = \left\lbrace\begin{array}{l} x=3 \\ x=-\frac{4}{3} \end{array} \right.
\end{align}
\)