Exercicis de vectors i rectes I

Exercici 1

Determina les components cartesianes i el mòdul de cadascun dels vectors següents. En cada cas fes-ne la representació gràfica.

\(\vec{AB}\) amb \(A(-3,6)\) i \(B(2,-1)\)	Solució:
\(\vec{CD}\) amb \(C(-4,-4)\) i \(D(4,-3)\)	Solució:
\(\vec{EF}\) amb \(E(7,7)\) i \(F(4,3)\)	Solució:
\(\vec{GH}\) amb \(G(-7,-5)\) i \(H(-7,2)\)	Solució:

Exercici 2

\(A\), \(B\), \(C\) i \(D\) són punts arbitraris del pla. Simplifica les següents expressions donant el resultat en la forma \(\overrightarrow{XY}\), és a dir, donant l'origen i l'extrem del resultat, excepte quan sigui el vector nul \(\vec{0}\):

a) \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} \)	Solució:	\( \overrightarrow{AC} \)
b) \( \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{DC} \)	Solució:	\( \overrightarrow{DA} \)
c) \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} \)	Solució:	\(\vec{0}\)
d) \( \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB}\)	Solució:	\( \overrightarrow{AC}\)
e) \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} \)	Solució:	\( \overrightarrow{AD} \)
f) \( \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} \)	Solució:	\( \overrightarrow{CB} \)
g) \( \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} \)	Solució:	\(\vec{0}\)
h) \( \overrightarrow{AB} - \left( \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CD} \right) \)	Solució:	\( \overrightarrow{AD} \)

Exercici 3

Quants vectors diferents podem formar agafant com a origen i com a final dos vèrtexs diferents d'un paral·lelogram \(ABCD\) en els següents casos?

considerant que els vectors són fixos.

Solució:

\(12\) vectors fixos.

\( \begin{array}{l} \overrightarrow{AB} & \overrightarrow{BA} & \overrightarrow{CA} & \overrightarrow{DA} \\[8pt] \overrightarrow{AC} & \overrightarrow{BC} & \overrightarrow{CB} & \overrightarrow{DB} \\[8pt] \overrightarrow{AD} & \overrightarrow{BD} & \overrightarrow{CD} & \overrightarrow{DC} \\[8pt] \end{array} \)
considerant que els vectors són lliures.

Solució:

\(8\) vectors lliures.

\( \begin{array}{l} \overrightarrow{AB} & \overrightarrow{BA} & \overrightarrow{CA} & \overrightarrow{DA} \\[8pt] \overrightarrow{AC} & & & \overrightarrow{DB} \\[8pt] \overrightarrow{AD} & \overrightarrow{BD} & & \\[8pt] \end{array} \)

Això és degut a que \(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}\), \(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}\) i \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\).

Exercici 4

Donat l’octàgon regular de la figura següent:

Simplifica l'expressió \( \vec{a} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{AG} + \overrightarrow{AH} \).

Solució:

Exercici 5

Si el vector \(\vec{p}\) té mòdul 5, calcula:

a) \( \left\| 3\vec{p} \right\| \)	Solució:	\( 15 \)
b) \( \left\| -4\vec{p} \right\| \)	Solució:	\( 20 \)
c) \( \left\| \dfrac{1}{2}\vec{p} \right\| \)	Solució:	\( \dfrac{5}{2} \)
d) \( \left\| 5\vec{p} - 8\vec{p} \right\| \)	Solució:	\( 15 \)

Exercici 6

Quina és la distància entre els punts \(M(6,8)\) i \(N(3,2)\)?

Solució:

Exercici 7

Dibuixa de forma aproximada els següents vectors i calcula'n després els seus components:

\(\vec{a}=6_{45^{\circ}}\)	Solució:
\(\vec{b}=4_{120^{\circ}}\)	Solució:
\(\vec{c}=2_{300^{\circ}}\)	Solució:

Exercici 8

Amb els vectors \(\vec{a}=4_{30^{\circ}}\) i \(\vec{b}=3_{45^{\circ}}\), calcula el vector \(\vec{a}+\vec{b}\). Expressa el resultat en forma cartesiana i en forma polar.

Solució:

Exercici 9

Troba un vector unitari de la mateixa direcció, però sentit oposat al vector \(\vec{p}=(-7,24)\).

Solució:

Exercici 10

Comprova que els punts \(P(1,7)\), \(Q(4,6)\) i \(R(-4,2)\) pertanyen a una circumferència de centre \(C(1,2)\).

Solució: