Dues rectes incidents són perpendiculars si els seus vectors directors són perpendiculars, és a dir si el seu producte escalar és zero. També es pot dir que dues rectes incidents són perpendiculars si els seus vectors normals són perpendiculars. Per tant:
\( r \perp s \quad\Leftrightarrow\quad \vec{v_r}\cdot\vec{v_s}=0 \quad\Leftrightarrow\quad \vec{n_r} \cdot \vec{n_s}=0 \quad\Leftrightarrow\quad \vec{v_r}\parallel\vec{n_s} \quad\Leftrightarrow\quad \vec{v_s}\parallel\vec{n_r} \)
Siguin dues rectes expressades en forma general:
\( r:\;A_{r}x+B_{r}y+C_{r}=0 \\[10pt] s:\;A_{s}x+B_{s}y+C_{s}=0 \)
Aquestes dues rectes seran perpendiculars si:
\(\vec{n_r} \cdot \vec{n_s}=0 \quad\Leftrightarrow\quad (A_r,B_r)\cdot(A_s,B_s) = 0 \quad\Leftrightarrow\quad A_r A_s + B_r B_s = 0 \)
Siguin dues rectes expressades en forma explícita:
\( r:\;y=m_rx+n_r \\[10pt] s:\;y=m_sx+n_s \)
Aquestes dues rectes seran perpendiculars si:
\(\vec{n_r} \cdot \vec{n_s}=0 \quad\Leftrightarrow\quad (1,m_r)\cdot(1,m_s) = 0 \quad\Leftrightarrow\quad 1 + m_r m_s = 0 \quad\Leftrightarrow\quad m_r m_s = -1\)
Exemple
Troba l'equació de la recta \(s\) perpendicular a \(r:\;4x-5y+3=0\) que passa pel punt \(P(-2,5)\).
Resolució (1r mètode):
Podem agafar com a vector director de \(s\) el vector normal de \(r\).
\(\vec{v_s}=\vec{n_r}=(4,-5)\)
Amb aquest vector director i el punt \(P\) podem escriure \(s\) en forma contínua.
\(s:\;\dfrac{x+2}{4}=\dfrac{y-5}{-5}\)
Resolució (2n mètode):
Podem agafar com a vector normal de \(s\) el vector director de \(r\).
\(\vec{n_s}=\vec{v_r}=(5,4)\)
D'aquesta manera la recta \(s\) es pot escriure amb una equació general del tipus \(5x+4y+C=0\). Per determinar \(C\) imposem que el punt \(P\) pertany a \(s\).
\(5\cdot(-2)+4\cdot5+C=0 \quad\Rightarrow\quad C=-10\)
Per tant l'equació general de \(s\) és:
\(s:\;5x+4y-10=0\)
Resolució (3r mètode):
Agafem com a vector director de \(s\) el vector normal de \(r\).
\(\vec{v_s}=\vec{n_r}=(4,-5)\)
El pendent de la recta \(s\) és \(m_s=-\dfrac{5}{4}\). Podem escriure l'equació punt-pendent de \(s\):
\(y-5=-\dfrac{5}{4}\cdot(x+2)\)
I a partir d'aquesta podem trobar l'equació explícita:
\(y=-\dfrac{5x}{4}+\dfrac{5}{2}\)
Exercici 22
Indica justificadament si les següents rectes incidents són perpendiculars o no.
\( \begin{array}{l} r:\;6x-5y+4=0 \\[8pt] s:\;5x+6y-8=0 \end{array} \)
Solució:Exercici 23
Indica justificadament si les següents rectes incidents són perpendiculars o no.
\( \begin{array}{l} r:\;2x+3y+12=0 \\[8pt] s:\;(x,y)=(-1,0)+k\cdot(4,6) \end{array} \)
Solució:Exercici 24
Determina l'equació de la mediatriu del segment d'extrems \(P(2,3)\) i \(P(5,1)\)
Solució:Exercici 25
Donades les rectes:
\( \begin{array}{l} r:\;2x-3y+6=0 \\[8pt] s:\;x-5y+5=0 \\[8pt] t:\;2x+y-12=0 \end{array} \)
troba la recta perpendicular a \(r\) que passa pel punt d'intersecció de \(s\) i \(t\).
Solució:Considerem una recta \(r\) i un punt \(P\) exterior a la recta. La projecció ortogonal de \(P\) sobre \(r\) es defineix com el punt \(P'\) que resulta de fer la intersecció de la recta \(r\) amb la perpendicular a \(r\) que passa per \(P\).
Les coordenades d'aquest punt \(P'\) es troben resolent el sistema determinat per les equacions de les dues rectes.
Si el punt \(P\) pertany a la recta, aleshores coincideix amb la seva projecció \(P'\).
Considerem una recta \(r\) i un punt \(P\) exterior a la recta. El punt \(S\) es diu que és el simètric de \(P\) respecte a \(r\) si el punt mitjà entre \(P\) i \(S\) coincideix amb \(P'\), la projecció ortogonal de \(P\) sobre \(r\).
Si el punt \(P\) pertany a la recta, aleshores coincideix amb el seu simètric \(S\).
Exemple
Troba la projecció ortogonal del punt \(P(1,3)\) sobre la recta \(r:\;2x-6y-4=0\) i el punt simètric de \(P\) respecte a \(r\).
Resolució:
Primer trobem l'equació de la recta \(s\) perpendicular a \(r\) que conté al punt \(P\).
\(\begin{array}{l} s \perp r & \Rightarrow & s:\;6x+2y+C=0 \\[8pt] P \in s & \Rightarrow & 6\cdot1+2\cdot3+C=0 \quad\Rightarrow\quad C=-12 \quad\Rightarrow\quad s:\;6x+2y-12=0 \end{array}\)
La intersecció de \(r\) amb \(s\) és el punt \(P'\), projecció ortogonal de \(P\) sobre \(r\).
\( P' = r \cap s \quad\Rightarrow\quad \left.\begin{array}{l} 2x-6y-4=0 \\[8pt] 6x+2y-12=0 \end{array}\right\rbrace \quad\Rightarrow\quad P'(2,0) \)
Per trobar el punt \(S\) simètric de \(P\) respecte a \(r\) fem servir que \(P'(2,0)\) és el punt mitjà entre \(P(1,3)\) i \(S(x,y)\).
\( \left( \dfrac{1+x}{2},\dfrac{3+y}{2} \right) = \left( 2,0 \right) \quad\Rightarrow\quad S(3,-3)\)
Exercici 26
Donat el punt \(P(2,3)\) i la recta \(r:\;2x-4y-2=0\), troba la projecció ortogonal de \(P\) sobre la recta \(r\) i el punt simètric de \(P\) respecte a \(r\).
Solució:Exercici 27
Troba el circumcentre del triangle de vèrtexs \(A(0,3)\), \(B(-1,-1)\) i \(C(1,0)\).
Nota: El circumcentre d'un triangle és el punt on es tallen les mediatrius.
Solució:Exercici 28
Troba l'ortocentre del triangle de vèrtexs \(A(3,6)\), \(B(2,2)\) i \(C(4,3)\).
Nota: L'ortocentre d'un triangle és el punt on es tallen les altures.
Solució:Dues rectes no perpendiculars que es tallen determinen quatre angles, iguals dos a dos. Es considera sempre l'angle més petit, és a dir, l'angle agut.
En el cas particular de dues rectes perpendiculars, els quatre angles són iguals i cadascun mesura \(90^{\circ}\).
En el cas particular de dues rectes coincidents o paral·leles l'angle és \(0^{\circ}\).
En qualsevol cas l'angle \(\alpha\) determinat per dues rectes es pot calcular a partir dels seus vectors directors \(\vec{v_r}\) i\(\vec{v_r}\) mitjançant la següent expressió.
\(\cos{\alpha}=\dfrac{\left| \vec{v_r} \cdot \vec{v_s} \right|}{\left| \vec{v_r} \right|\cdot\left| \vec{v_s} \right|}\)
Exemple
Quin angle determinen les rectes \(r:\;y=3x-1\) i \(s:\;2x+5y=0\)?
Resolució:
El pendent de la recta \(r\) és \(m=3\), per tant un vector director és \(\vec{v_r}=(1,m)=(1,3)\).
L'equació de la recta \(s\) és una equació general, per tant un vector director és \(\vec{v_s}=(B,-A)=(5,-2)\).
El cosinus de l'angle que formen les dues rectes és:
\(\cos{\alpha}=\dfrac{\left| (1,3) \cdot (2,-5) \right|}{\left| (1,3) \right|\cdot\left| (2,-5) \right|} = \dfrac{\sqrt{290}}{290} \quad\Rightarrow\quad \alpha \approx 86,6335^{\circ}\)
Exercici 29
Quin angle determinen les rectes \(r:\;(x,y)=(1,-3)+k\cdot(2,-4)\) i \(s:\;4x-5y+7=0\)?
Solució:Exemple
Troba l'equació de les rectes que passen pel punt \(P(-3,2)\) i formen un angle de \(45^{\circ}\) amb la recta \(r:\;x-7y+2=0\).
Resolució:
Un vector director de la recta \(r\) és \(\vec{v_r}=(7,1)\), i un vector director de la recta que busquem el podem escriure de la forma \(\vec{v}=(1,m)\). Per tant:
\( \begin{align} \cos 45^{\circ} = \dfrac{\left| \vec{v_r}\cdot\vec{v} \right|}{\left| \vec{v_r} \right|\cdot\left| \vec{v} \right|} \quad &\Rightarrow\quad \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{\left| (7,1) \cdot (1,m) \right|}{\left| (7,1) \right|\cdot\left| (1,m) \right|} \\[8pt] &\Rightarrow\quad \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{\left| 7+m \right|}{\sqrt{50} \cdot \sqrt{1+m^2}} \\[8pt] &\Rightarrow\quad \dfrac{2}{4} = \dfrac{\left( 7+m \right)^2}{50 \cdot \left({1+m^2}\right)^2} \\[8pt] &\Rightarrow\quad 25+25m^2 = m^2+14m+49 \\[8pt] &\Rightarrow\quad 24m^2-14m-24 = 0 \\[8pt] &\Rightarrow\quad \left\lbrace \begin{array}{l} x=\frac{4}{3}\\[8pt]x=\frac{3}{4} \end{array} \right. \end{align} \)
Exercici 32
Troba l'equació punt-pendent de les dues rectes que passen pel punt \(P(1,1)\) i formen un angle de \(30^{\circ}\) amb la recta \(r:\;2x+2y+3=0\).
Solució: