Dues rectes diferents en el pla poden ser paral·leles o tallar-se en un punt. Quan s'estudia la posició relativa de dues rectes a partir de les seves equacions s'ha tenir en compte que dues equacions diferents poden correspondre a la mateixa recta. Per tant les possibilitats són tres:
Rectes secants (o rectes incidents): Son dues rectes que es tallen en un únic punt.
Rectes paral·leles: No tenen cap punt en comú.
Rectes coincidents: Tenen tots els punts en comú (són la mateixa recta).
Dues rectes amb la mateixa direcció, paral·leles o coincidents, tenen els seus vectors directors paral·lels. Per tant els seus vectors normals també són paral·lels i els seus pendents són iguals.
\( r \parallel s \quad\Leftrightarrow\quad \vec{v_r} \parallel \vec{v_s} \quad\Leftrightarrow\quad \vec{n_r} \parallel \vec{n_s} \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{A_r}{A_s}=\dfrac{B_r}{B_s} \quad\Leftrightarrow\quad m_r=m_s \)
En el cas de dues rectes secants el punt de tall es troba resolent el sistema format per les dues equacions de les rectes.
Siguin les dues rectes expressades en forma general:
\( r:\;A_{r}x+B_{r}y+C_{r}=0 \\[10pt] s:\;A_{s}x+B_{s}y+C_{s}=0 \)
Es pot deduir la seva posició relativa cercant proporcionalitats entre els seus coeficients.
\( \begin{array}{} \dfrac{A_r}{A_s} \ne \dfrac{B_r}{B_s} & \Leftrightarrow & r \nparallel s & \mathsf{rectes\;secants} \\[8pt] \dfrac{A_r}{A_s} = \dfrac{B_r}{B_s}\ne \dfrac{C_r}{C_s} & \Leftrightarrow & r \parallel s & \mathsf{rectes\;paral·leles} \\[8pt] \dfrac{A_r}{A_s} = \dfrac{B_r}{B_s} = \dfrac{C_r}{C_s} & \Leftrightarrow & r=s & \mathsf{rectes\;coincidents} \\[8pt] \end{array} \)
Exemple
Determina l’equació de la recta \(r\) que passa pel punt \(P(–3,1)\) i és paral·lela a la recta \(s:\;5x - 3y + 6 = 0\).
Resolució:
Primer comprovem que el punt \(P\) no pertany a la recta \(s\).
\(5\cdot(-3) - 3\cdot1 + 6 \ne 0 \quad\Rightarrow\quad P \notin s\)
La recta \(r\) ha de ser paral·lela a \(s\). Per tant la seva equació general és del tipus \(5x-3y+C=0\). Per determinar el valor de \(C\) imposem que el punt \(P\) pertanyi a la recta \(r\).
\(5\cdot(-3) - 3\cdot1 + C = 0 \quad\Rightarrow\quad C=18 \)
Per tant l'equació de la recta \(r\) és:
\( r:\;5x-3y+18=0 \)
Siguin les dues rectes expressades en forma explícita:
\( r:\;y=m_rx+n_r \\[10pt] s:\;y=m_sx+n_s \)
Es pot deduir la seva posició relativa comparant els seus coeficients.
\( \begin{array}{} m_r \ne m_s & \Leftrightarrow & r\nparallel s & \mathsf{rectes\;secants} \\[8pt] m_r = m_s \;\land\; n_r \ne n_s & \Leftrightarrow & r\parallel s & \mathsf{rectes\;paral·leles} \\[8pt] m_r = m_s \;\land\; n_r=n_s & \Leftrightarrow & r=s & \mathsf{rectes\;coincidents} \\[8pt] \end{array} \)
Exemple
Determina l’equació de la recta \(r\) que passa pel punt \(P(–1,-1)\) i és paral·lela a la recta \(s:\;y=2x-4\).
Resolució:
Primer comprovem que el punt \(P\) no pertany a la recta \(s\).
\(-1 \ne 2\cdot(-1)-4 \quad\Rightarrow\quad P \notin s\)
La recta \(r\) ha de ser paral·lela a \(s\). Per tant la seva equació explícita és del tipus \(y=2x+n\). Per determinar el valor de \(n\) imposem que el punt \(P\) pertanyi a la recta \(r\).
\(-1 = 2\cdot(-1)+n \quad\Rightarrow\quad n=1 \)
Per tant l'equació de la recta \(r\) és:
\( r:\;y=2x+1 \)
Exercici 18
Determina la posicio relativa de les rectes següents:
\( r:\;\dfrac{x-5}{4}=\dfrac{y+2}{6} \\[10pt] s:\;\dfrac{x}{2}-\dfrac{y}{3}=1 \)
Solució:Exercici 19
Determina la posicio relativa dels parells de rectes següents. En cas que siguin incidents, troba'n el punt on es tallen.
a) \( r:\;y=\dfrac{x}{2}+3 \\[10pt] s:\;x-3=\dfrac{y+2}{2} \) |
Solució: | |
b) \( r:\;x-3y+3=0 \\[10pt] s:\;-2x+6y-6=0 \) |
Solució: | |
c) \( r:\;3x-3y+7=0 \\[10pt] s:\;x-y-3=0 \) |
Solució: | |
d) \( r:\;(x,y)=(1,2)+k\cdot(2,-3) \\[10pt] s:\;3x+2y-6=0 \) |
Solució: |
Exercici 20
Troba l’equació de la recta que passa pel punt de tall de les rectes \(r:\;2x+3y-14=0\), \(s:\;x-2y+7=0\), i és paral·lela a a la recta \(t:\;5x+4y-2=0\).
Solució:Exercici 21
Determina el punt d'intersecció de les rectes:
\( r:\;(x,y)=(2,5)+k\cdot(1,-3) \\[8pt] s:\;\dfrac{x+1}{4}=\dfrac{y-3}{-2} \)
Solució: