L'equació de la recta II

Equació general o implícita

Simplificant els denominadors de l'equació contínua i passant tots els termes a l'esquerra s'arriba a:

\( \begin{align} \dfrac{x-x_0}{v_x} = \dfrac{y-y_0}{v_y} \quad &\Rightarrow\quad v_yx-v_yx_0=v_xy-v_xy_0 \\[8pt] &\Rightarrow\quad v_yx-v_xy+v_xy_0-v_yx_0=0 \\[8pt] &\Rightarrow\quad Ax+By+C=0 \\[8pt] \end{align} \)

on:

\(A=v_y \\[6pt] B=-v_x \\[6pt] C=v_xy_0-v_yx_0\)

L'equació \(Ax+By+C=0\) s'anomena equació general o implícita.

Equació general o implícita
\(\bbox[15px,border:1px solid]{ Ax+By+C=0 }\)

Observacions:

• L'equació general d'una recta no és única, però totes les equacions generals que representen a una mateixa recta \(r\) tenen coeficients proporcionals.

  \(\left.\begin{array}{l} r:\,Ax+By+C=0 \\[8pt] r:\,A'x+B'y+C'=0 \end{array}\right\rbrace \quad\quad\Rightarrow\quad\quad \dfrac{A}{A'}=\dfrac{B}{B'}=\dfrac{C}{C'} \)

• Una propietat interessant d'aquesta equació és que \(\vec{v}=(-B,A)\) és un vector director de la recta (i el vector \(-\vec{v}=(B,-A)\) també), per tant el vector \(\vec{n}=(A,B)\), anomenat vector normal, és un vector perpendicular a la recta (i el vector \(-\vec{n}=(-A,-B)\) també).

  \(\vec{v}\cdot\vec{n}=(-B,A)\cdot(A,B)=-AB+AB=0 \quad\Rightarrow\quad \vec{v}\perp\vec{n}\)

Equació explícita

Aïllant \(y\) en funció de \(x\) a partir de l'equació general s'obté l'equació explícita:

\( \begin{align} Ax+By+C=0 \quad &\Rightarrow\quad y=-\dfrac{A}{B}x-\dfrac{C}{B} \\[8pt] &\Rightarrow\quad y=mx+n \\[8pt] \end{align} \)

amb:

\( m=-\dfrac{A}{B}=\dfrac{v_y}{v_x}=\tan\alpha \\ n=-\dfrac{C}{B} \)

El coeficient \(m\) s'anomena pendent de la recta i és igual a la tangent de l'angle que forma la recta amb el semieix positiu \(OX\).

El coeficient \(n\) s'anomena ordenada a l'origen i és igual a l'ordenada del punt de tall de la recta amb l'eix \(OY\), és a dir el punt \((0,n)\).

Equació explícita
\(\bbox[15px,border:1px solid]{ y=mx+n }\)

Observacions:

• Una recta horitzontal (paral·lela a l'eix \(OX\)) té un vector director de la forma \(\vec{v}=(v_x,0)\), per tant el pendent és \(m=0\) i l'equació de la recta és del tipus \(y=n\).

• Una recta vertical (paral·lela a l'eix \(OY\)) té un vector director de la forma \(\vec{v}=(0,v_y)\), per tant el pendent no està definit i no té equació explícita. Per analogia amb les rectes horitzontals podem assignar-li una equació del tipus \(x=p\), amb \(p\) constant.

• Cada recta té una única equació explícita, excepte les rectes paral·leles a l'eix \(OY\) que no en tenen.

• El vector \(\vec{v}=(1,m)\) és un vector director de la recta.

Equació punt-pendent

A partir de l'equació contínua de la recta que passa pel punt \(P(x_0,y_0)\) i té com a vector director \(\vec{v}=v(v_x,v_y)\) s'obté:

\( \begin{align} \dfrac{x-x_0}{v_x} = \dfrac{y-y_0}{v_y} \quad &\Rightarrow\quad y-y_0=\dfrac{v_y}{v_x}\left(x-x_0\right) \\[8pt] &\Rightarrow\quad y-y_0=m\left(x-x_0\right) \\[8pt] \end{align} \)

Aquesta equació s'anomena equació punt-pendent.

Equació punt-pendent
\(\bbox[15px,border:1px solid]{ y-y_0=m\left(x-x_0\right) }\)

Observacions:

• L'equació punt-pendent no és única, depèn del punt utilitzat.

Equació canònica o segmentària

A partir de l'equació general \(Ax+By+C=0\) es pot escriure:

\( \begin{align} Ax+By+C=0 \quad &\Rightarrow\quad Ax+By=-C \\[8pt] &\Rightarrow\quad \dfrac{Ax}{-C}+\dfrac{By}{-C}=1 \\[8pt] &\Rightarrow\quad \dfrac{x}{-\frac{C}{A}}+\dfrac{y}{-\frac{C}{B}}=1 \\[8pt] &\Rightarrow\quad \dfrac{x}{p}+\dfrac{y}{n}=1 \\[8pt] \end{align} \)

amb:

\( n=-\dfrac{C}{B} \quad\quad\quad p=-\dfrac{C}{A} \)

Els paràmetres \(n\) i \(p\) són l'ordenada i l'abscissa a l'origen. La recta interseca amb els eixos de coordenades en els punts \((p,0)\) i \((0,n)\).

Observacions:

• L'equació canònica, si existeix, és única.

• Si algun coeficient de l'equació canònica és igual a zero, la recta no té equació canònica. Per tant les rectes horitzontals (\(A=0\)) o les verticals (\(B=0\)) o les que passen per l'origen (\(C=0\)) no tenen equació canònica.