Una equació d'una recta \(r\) és una relació algebraica que serveix per a decidir quins punts del pla pertanyen a la recta i quins no.
Hi ha diferents formes d'expressar l'equació d'una recta cadascuna amb els seus avantatges i els seus inconvenients.
Una recta \(r\) queda determinada si es coneix la posició d'un punt qualsevol \(P(x_0,y_0) \in r\) i la seva direcció, donada per un vector \(\vec{v}=(v_x,v_y)\ne\vec{0}\). Aquest vector s'anomena vector director de la recta. Un punt qualsevol de la recta \(X(x,y)\) verifica:
\( \begin{align} \overrightarrow{PX}=k\cdot\vec{v}\quad & \Leftrightarrow\quad (x,y)-(x_0,y_0)=k\cdot(v_x,v_y) \\[8pt] & \Leftrightarrow\quad (x,y)=(x_0,y_0)+k\cdot(v_x,v_y) \\[8pt] & \Leftrightarrow\quad \vec{x}=\vec{p}+k\vec{v} \end{align} \)
on \(\vec{x}=(x,y)\) i \(\vec{p}=(x_0,y_0)\) són els vectors posició dels punt \(X\) i \(P\) respectivament. Aquesta equació s'anomena equació vectorial de la recta \(r\).
El nombre real \(k\) s'anomena paràmetre de la recta i indica quantes vegades s'ha d'aplicar el vector \(\vec{v}\) per desplaçar-se des del punt \(P\) fins al punt \(X\). Cada valor del paràmetre \(k\) té associat un punt de la recta i viceversa.
Equació vectorial\(\bbox[15px,border:1px solid]{ \vec{x}=\vec{p}+k\vec{v},\;\;\mathsf{amb}\;\;k\in\mathbb{R} }\)
Exemple
Volem saber quina és l'equació vectorial de la recta \(r\) que passa pel punt \(P(-1,3)\) i té com a vector director \(\vec{v}=(2,-2)\), i a més fer-la servir per calcular quatre punts de la recta.
L'equació vectorial és simplement:
\( r:\;(x,y)=(-1,3)+k(2,-2) \)
Per trobar els quatre punts donarem valors arbitraris al paràmetre \(k\) i els aplicarem a l'equació vectorial.
\( \begin{array}{l} k=0 & \Rightarrow & (x,y)=(-1,3)+0\cdot(2,-2) = (-1,3) \\[8pt] k=1 & \Rightarrow & (x,y)=(-1,3)+1\cdot(2,-2) = (1,1) \\[8pt] k=2 & \Rightarrow & (x,y)=(-1,3)+2\cdot(2,-2) = (3,-1) \\[8pt] k=3 & \Rightarrow & (x,y)=(-1,3)+3\cdot(2,-2) = (5,-3) \end{array} \)
Observacions:
El vector nul no determina cap direcció, per tant no pot ser el vector director de cap recta.
Si \(\vec{v}\) és un vector director d'una recta, el vector \(\vec{u}=h\cdot\vec{v}\), amb \(h\ne0\) també ho és.
L'expressió de l'equació vectorial d'una recta \(r\) no és única. Depèn del punt \(P\) triat i del vector director \(\vec{v}\).
Exercici 1
Escriu l'equació vectorial de la recta \(r\) que passa pel punt \(P(4,-3)\) i té com a vector director \(\vec{v}=(-2,3)\).
Solució:Exercici 2
Escriu l'equació vectorial de la recta \(r\) que passa pels punts \(A(1,2)\) i \(B(4,0)\).
Solució:Si s'escriu l'equació vectorial en components, s'obté:
\( \begin{align} \vec{x}=\vec{p}+k\vec{v} \quad & \Leftrightarrow\quad (x,y)=(x_0,y_0)+k\cdot(v_x,v_y) \\[8pt] & \Leftrightarrow\quad (x,y)=(x_0+kv_x,y_0+kv_y) \\[8pt] & \Leftrightarrow\quad \left\lbrace \begin{array}{l} x=x_0+kv_x \\ y=y_0+kv_y \end{array} \right. \end{align} \)
Aquestes dues equacions són les equacions paramètriques de la recta.
Equacions paramètriques\(\bbox[15px,border:1px solid]{ \left\lbrace \begin{array}{l} x=x_0+kv_x \\ y=y_0+kv_y \end{array} \right.,\;\;\mathsf{amb}\;\;k\in\mathbb{R} }\)
Observacions:
Les equacions paramètriques no són més que l'equació vectorial, desglossada en les seves components. La informació que proporcionen és la mateixa.
L'expressió de les equacions paramètriques d'una recta \(r\) no és única. Depèn del punt \(P\) triat i del vector director \(\vec{v}\).
Exercici 3
Considera la recta \(r\) que té les següents equacions paramètriques:
\( r:\;\left\lbrace \begin{array}{l} x=5-4k \\ y=3+8k \end{array} \right. \).
Pot ser el vector \(\vec{a}=(1,-2)\) un vector director de \(r\)?
Solució:Exercici 4
Troba les coordenades de tres punts de la recta \(r\) que té les següents equacions paramètriques:
\( r:\;\left\lbrace \begin{array}{l} x=3+k \\ y=-2+2k \end{array} \right. \).
Solució:Exercici 5
Esbrina si els punts \(A(2,7)\) i \(B(4,-5)\) pertanyen a la recta \( r:\;\left\lbrace \begin{array}{l} x=6-2k \\ y=1+3k \end{array} \right. \).
Solució:Aïllant el paràmetre \(k\) de les dues equacions paramètriques i igualant l'expressions obtingudes s'obté:
\( \begin{align} \left\lbrace \begin{array}{l} x=x_0+kv_x \\ y=y_0+kv_y \end{array} \right. \quad & \Leftrightarrow\quad \left\lbrace \begin{array}{l} k=\dfrac{x-x_0}{v_x} \\ k=\dfrac{y-y_0}{v_y} \end{array} \right. \\[8pt] & \Leftrightarrow\quad \dfrac{x-x_0}{v_x} = \dfrac{y-y_0}{v_y} \end{align} \)
Aquesta última equació és l'equació contínua de la recta.
Equació contínua\(\bbox[15px,border:1px solid]{ \dfrac{x-x_0}{v_x} = \dfrac{y-y_0}{v_y} }\)
Exemple
Volem trobar l'equació contínua de la recta \(r\) que passa pels punts \(A(3,4)\) i \(B(5,0)\). El que farem primer és trobar un vector director, per exemple \(\vec{v}=\overrightarrow{AB}=(2,-4)\). Ara, agafant el punt \(A\), per exemple, com a punt de referència obtenim l'equació contínua següent:
\(\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y-4}{-4}\)
Observacions:
A partir d'un punt i un vector director es pot escriure directament l'equació contínua sense escriure prèviament la vectorial o les paramètriques.
L'expressió de l'equació contínua d'una recta \(r\) no és única. Depèn del punt \(P\) triat i del vector director \(\vec{v}\).
Les rectes paral·leles a l'eix \(OX\) tenen un vector director de la forma \(\vec{v}=(v_x,0)\) i si són paral·leles a l'eix \(OY\) és de la forma \(\vec{v}=(0,v_y)\). Per tant les rectes paral·leles a algun dels eixos de coordenades no es poden expressar amb una equació contínua, ja que aquesta tindria algun denominador nul i no estaria ben definida.
Exercici 6
Troba les coordenades de tres punts de la recta:
\(r:\;\dfrac{x-3}{5}=\dfrac{2-y}{3}\)
Solució:Exercici 7
Esbrina si els punts \(A(-5,2)\) i \(B(1,11)\) pertanyen a la recta \( r:\;\dfrac{x+3}{2}=\dfrac{y-5}{3} \).
Solució: