MATES 1BATX. Vectors i rectes en el pla.

Una equació d'una recta

$r$ és una relació algebraica que serveix per a decidir quins punts del pla pertanyen a la recta i quins no.

Hi ha diferents formes d'expressar l'equació d'una recta cadascuna amb els seus avantatges i els seus inconvenients.

Equació vectorial

Una recta

$r$ queda determinada si es coneix la posició d'un punt qualsevol

$P(x_0,y_0) \in r$ i la seva direcció, donada per un vector

$\vec{v}=(v_x,v_y)\ne\vec{0}$ . Aquest vector s'anomena vector director de la recta. Un punt qualsevol de la recta

$X(x,y)$ verifica:

$\begin{align} \overrightarrow{PX}=k\cdot\vec{v}\quad & \Leftrightarrow\quad (x,y)-(x_0,y_0)=k\cdot(v_x,v_y) \\[8pt] & \Leftrightarrow\quad (x,y)=(x_0,y_0)+k\cdot(v_x,v_y) \\[8pt] & \Leftrightarrow\quad \vec{x}=\vec{p}+k\vec{v} \end{align}$

$\vec{x}=(x,y)$ i

$\vec{p}=(x_0,y_0)$ són els vectors posició dels punt

$X$ i

$P$ respectivament. Aquesta equació s'anomena equació vectorial de la recta

$r$ .

El nombre real

$k$ s'anomena paràmetre de la recta i indica quantes vegades s'ha d'aplicar el vector

$\vec{v}$ per desplaçar-se des del punt

$P$ fins al punt

$X$ . Cada valor del paràmetre

$k$ té associat un punt de la recta i viceversa.

Equació vectorial

$\bbox[15px,border:1px solid]{ \vec{x}=\vec{p}+k\vec{v},\;\;\mathsf{amb}\;\;k\in\mathbb{R} }$

Exemple

Volem saber quina és l'equació vectorial de la recta $r$ que passa pel punt $P(-1,3)$ i té com a vector director $\vec{v}=(2,-2)$ , i a més fer-la servir per calcular quatre punts de la recta.

L'equació vectorial és simplement:

$r:\;(x,y)=(-1,3)+k(2,-2)$

Per trobar els quatre punts donarem valors arbitraris al paràmetre $k$ i els aplicarem a l'equació vectorial.

$\begin{array}{l} k=0 & \Rightarrow & (x,y)=(-1,3)+0\cdot(2,-2) = (-1,3) \\[8pt] k=1 & \Rightarrow & (x,y)=(-1,3)+1\cdot(2,-2) = (1,1) \\[8pt] k=2 & \Rightarrow & (x,y)=(-1,3)+2\cdot(2,-2) = (3,-1) \\[8pt] k=3 & \Rightarrow & (x,y)=(-1,3)+3\cdot(2,-2) = (5,-3) \end{array}$

0,0

$X_0$

$X_1$

$X_2$

$X_3$

$r$

Exercici 1

Escriu l'equació vectorial de la recta $r$ que passa pel punt $P(4,-3)$ i té com a vector director $\vec{v}=(-2,3)$ .

Solució:

$r:\;(x,y)=(4,-3)+k\cdot(-2,3)$

Exercici 2

Escriu l'equació vectorial de la recta $r$ que passa pels punts $A(1,2)$ i $B(4,0)$ .

Solució:

Com a punt triem qualsevol dels dos punts, $A$ o $B$ , i com a vector director triem qualsevol dels dos vectors $\overrightarrow{AB}$ o $\overrightarrow{BA}$ . Per exemple si triem el punt $A(1,2)$ i el vector $\overrightarrow{AB}=(3,-2)$ , l'equació és:

$r:\;(x,y)=(1,2)+k\cdot(3,-2)$

Equacions paramètriques

$\begin{align} \vec{x}=\vec{p}+k\vec{v} \quad & \Leftrightarrow\quad (x,y)=(x_0,y_0)+k\cdot(v_x,v_y) \\[8pt] & \Leftrightarrow\quad (x,y)=(x_0+kv_x,y_0+kv_y) \\[8pt] & \Leftrightarrow\quad \left\lbrace \begin{array}{l} x=x_0+kv_x \\ y=y_0+kv_y \end{array} \right. \end{align}$

Equacions paramètriques

$\bbox[15px,border:1px solid]{ \left\lbrace \begin{array}{l} x=x_0+kv_x \\ y=y_0+kv_y \end{array} \right.,\;\;\mathsf{amb}\;\;k\in\mathbb{R} }$

Exercici 3

Considera la recta $r$ que té les següents equacions paramètriques:

$r:\;\left\lbrace \begin{array}{l} x=5-4k \\ y=3+8k \end{array} \right.$ .

Pot ser el vector $\vec{a}=(1,-2)$ un vector director de $r$ ?

Solució:

De les equacions paramètriques veiem que un vector director és $\vec{v}=(-4,8)$ . Com que $\vec{v}=-4\vec{a}$ , el vector $\vec{a}$ és paral·lel a $\vec{v}$ i també pot ser un vector director.

Exercici 4

Troba les coordenades de tres punts de la recta $r$ que té les següents equacions paramètriques:

$r:\;\left\lbrace \begin{array}{l} x=3+k \\ y=-2+2k \end{array} \right.$ .

Solució:

Hem de donar valors arbitraris al paràmetre $k$ . Per tant la resposta és oberta. Si, per exemple, fem que $k=0$ , $k=1$ i $k=2$

$\begin{array}{l} k=0 &\Rightarrow &\left\lbrace\begin{array}{l} x=3+0=3 \\ y=-2+2\cdot0=-2 \end{array}\right. &\Rightarrow & P(3,-2)\\[10pt] k=1 &\Rightarrow &\left\lbrace\begin{array}{l} x=3+1=4 \\ y=-2+2\cdot1=0 \end{array}\right. &\Rightarrow & Q(4,0)\\[10pt] k=2 &\Rightarrow &\left\lbrace\begin{array}{l} x=3+2=5 \\ y=-2+2\cdot2=2 \end{array}\right. &\Rightarrow & R(5,2) \end{array}$

Exercici 5

Esbrina si els punts $A(2,7)$ i $B(4,-5)$ pertanyen a la recta $r:\;\left\lbrace \begin{array}{l} x=6-2k \\ y=1+3k \end{array} \right.$ .

Solució:

Per comprovar si un punt pertany a la recta substituïm les seves coordenades a les equacions paramètriques i aïllem el paràmetre $k$ de les dues equacions. Si obtenim el mateix resultat el punt pertany a la recta, si obtenim resultats diferents, no pertany.

$\left\lbrace \begin{array}{l} 2=6-2k &\Rightarrow &k=2 \\[8pt] 7=1+3k &\Rightarrow &k=2 \end{array} \right. \quad\quad\Rightarrow\quad\quad A\in r$

$\left\lbrace \begin{array}{l} 4=6-2k &\Rightarrow &k=1 \\[8pt] -5=1+3k &\Rightarrow &k=-2 \end{array} \right. \quad\quad\Rightarrow\quad\quad B\notin r$

Equació contínua

Aïllant el paràmetre

$k$ de les dues equacions paramètriques i igualant l'expressions obtingudes s'obté:

$\begin{align} \left\lbrace \begin{array}{l} x=x_0+kv_x \\ y=y_0+kv_y \end{array} \right. \quad & \Leftrightarrow\quad \left\lbrace \begin{array}{l} k=\dfrac{x-x_0}{v_x} \\ k=\dfrac{y-y_0}{v_y} \end{array} \right. \\[8pt] & \Leftrightarrow\quad \dfrac{x-x_0}{v_x} = \dfrac{y-y_0}{v_y} \end{align}$

Equació contínua

$\bbox[15px,border:1px solid]{ \dfrac{x-x_0}{v_x} = \dfrac{y-y_0}{v_y} }$

Exemple

Volem trobar l'equació contínua de la recta $r$ que passa pels punts $A(3,4)$ i $B(5,0)$ . El que farem primer és trobar un vector director, per exemple $\vec{v}=\overrightarrow{AB}=(2,-4)$ . Ara, agafant el punt $A$ , per exemple, com a punt de referència obtenim l'equació contínua següent:

$\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y-4}{-4}$

Exercici 6

Troba les coordenades de tres punts de la recta:

$r:\;\dfrac{x-3}{5}=\dfrac{2-y}{3}$

Solució:

Aquesta no és una equació contínua. El segon membre no està escrit correctament, però el podem arreglar, canviant els signes del numerador i el denominador.

$\dfrac{x-3}{5}=\dfrac{2-y}{3} \quad\Rightarrow\quad \dfrac{x-3}{5}=\dfrac{y-2}{-3}$

Aquesta equació és l'equació contínua d'una recta que passa pel punt $P(3,2)$ i té com a vector director $\vec{v}=(5,-3)$ . Podem obtenir més punts sumant al punt $P$ el vector director multiplicat per un nombre arbitrari. Per exemple podem obtenir un altre punt sumant-li a $P$ el vector $\vec{v}$ :

$(3,2)+(5,-3)=(8,-1)$ ,

i un altre punt més sumant-li a $P$ dues vegades el vector $\vec{v}$ :

$(3,2)+2(5,-3)=(13,-4)$ .

Els punts obtinguts són:

$P(3,2) \hspace{30pt} Q(8,-1) \hspace{30pt} R(13,-4)$

Exercici 7

Esbrina si els punts $A(-5,2)$ i $B(1,11)$ pertanyen a la recta $r:\;\dfrac{x+3}{2}=\dfrac{y-5}{3}$ .

Solució:

Per comprovar si un pertany a la recta substituïm les seves coordenades a l'equació contínua. Si la igualtat numèrica obtinguda és certa, el punt pertany a la recta, si és falsa, no pertany.

$\begin{array}{rcccl} \dfrac{-5+3}{2}=\dfrac{2-5}{3} \overset{?}{=} 0 &\Rightarrow & -1 = -1 &\Rightarrow \quad A\in r \\[8pt] \dfrac{1+3}{2}=\dfrac{11-5}{3} \overset{?}{=} 0 &\Rightarrow & 2 = 2 &\Rightarrow \quad B\in r \end{array}$

L'equació de la recta I

Equació d'una recta

Equació vectorial

Equacions paramètriques

Equació contínua