Si tres punts \(A(a_1,a_2)\), \(B(b_1,b_2)\) i \(C(c_1,c_2)\) estan alineats, aleshores els vectors \(\overrightarrow{AB}\) i \(\overrightarrow{AC}\) han de tenir la mateixa direcció, és a dir, han de ser linealment dependents.
\(A,\,B,\,C,\:\mathsf{alineats}\quad\Leftrightarrow\quad\overrightarrow{AB}\;i\;\overrightarrow{AC}\:\mathsf{v.l.d.}\quad\Leftrightarrow\quad\dfrac{b_1-a_1}{c_1-a_1}=\dfrac{b_2-a_2}{c_2-a_2}\)
Exemple
Volem comprovar si els punts \(A(2,–1)\), \(B(6,1)\) i \(C(8,2)\) estan alineats. Per fer-ho calculem primer els vectors \(\overrightarrow{AB}\) i \(\overrightarrow{AC}\).
\(\overrightarrow{AB} = (4,2) \\ \overrightarrow{AC} = (6,3)\)
I ara comprovem que són v.l.d.
\(\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}\)
Per tant els punts \(A\), \(B\) i \(C\) estan alineats.
Exercici 35
Comprova si els punts \(A(-13,-3)\), \(B(-6,-1)\) i \(C(12,4)\) estan alineats.
Exercici 36
Esbrina el valor del paràmetre \(\lambda\) perquè els punts \(A(-5,8)\), \(B(1,6)\) i \(C(10,\lambda)\) estiguin alineats.
| Solució: |
Donat un segment definit pels seus extrems \(A(a_1,a_2)\) i \(B(b_1,b_2)\), definim el seu punt mitjà com un punt \(M(m_1,m_2)\) que el divideix en dos segments de la mateixa longitud.
\(\overline{AM}=\overline{MB}\)
Es poden trobar les seves coordenades fent servir que els vectors \(\overrightarrow{AM}\) i \(\overrightarrow{MB}\) són equipolents, \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}\), o fent servir que \( 2\cdot\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} \).
\( \begin{align} 2\cdot\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} \quad &\Rightarrow\quad 2\cdot(m_1-a_1,m_2-a_2) = (b_1-a_1,b_2-a_2) \\[8pt] &\Rightarrow\quad \left\lbrace\begin{array}{l} 2(m_1-a_1)=b_1-a_1 \\ 2(m_2-a_2)=b_2-a_2 \end{array}\right. \\[8pt] &\Rightarrow\quad \left\lbrace\begin{array}{l} m_1=\dfrac{a_1+b_1}{2} \\ m_2=\dfrac{a_2+b_2}{2} \end{array}\right. \\[8pt] &\Rightarrow\quad M\left(\dfrac{a_1+b_1}{2}, \dfrac{a_2+b_2}{2} \right) \end{align} \)
Exemple
Volem trobar les coordenades d'el punt \(P'(x,y)\) simètric de \(P(5,1)\) respecte a \(Q(3,6)\). Per fer-ho farem servir que el punt \(Q\) ha de ser el punt mitjà entre \(P\) i \(P'\).
\( \left( \dfrac{x+5}{2},\dfrac{y+1}{2} \right) = \left( 3,6 \right) \quad\Rightarrow\quad \left\lbrace\begin{array}{l} x=1 \\[6pt] y=11 \end{array}\right. \)
Exercici 37
Donats els punts \(A(9,3)\) i \(B(5,5)\), troba les coordenades del seu punt mitjà \(M\).
| Solució: |
Exercici 38
Els punts \(A(7,-8)\) i \(B(-3,16)\) són els extrems d’un dels diàmetres d’una circumferència. Determina’n les coordenades del centre \(C\) i calcula’n l'àrea del cercle delimitat per la circumferència.
| Solució: |
Exemple
Volem dividir el segment d'extrems \(A(1,9)\) i \(B(6,-6)\) en cinc parts iguals. Per fer-ho haurem de trobar quatre punts situats al segment com al següent esquema.
Per trobar el punt \(A_1\) farem servir que:
\(\overrightarrow{AA_1}=\dfrac{1}{5}\cdot\overrightarrow{AB}\)
Per tant:
\(A_1=A+\overrightarrow{AA_1}=A+\dfrac{1}{5}\cdot\overrightarrow{AB}\)
Per la resta de punts es poden trobar expressions similars:
\( A_1 = A+\dfrac{1}{5}\cdot\overrightarrow{AB} = (-6,1)+\dfrac{1}{5}\cdot(15,5) = (-3,2) \\[8pt] A_2 = A+\dfrac{2}{5}\cdot\overrightarrow{AB} = (-6,1)+\dfrac{2}{5}\cdot(15,5) = (0,3) \\[8pt] A_3 = A+\dfrac{3}{5}\cdot\overrightarrow{AB} = (-6,1)+\dfrac{3}{5}\cdot(15,5) = (3,4) \\[8pt] A_4 = A+\dfrac{4}{5}\cdot\overrightarrow{AB} = (-6,1)+\dfrac{4}{5}\cdot(15,5) = (6,5) \)
Exercici 39
Donats els punts \(A(8,0)\) i \(B(1,5)\), troba les coordenades dels punts que divideixen al segment \(AB\) en cinc segments iguals.
Exercici 40
Donats els punts \(P(3,7)\) i \(Q(0,1)\), troba les coordenades dels punts que divideixen al segment \(PQ\) en quatre segments iguals.
En un triangle, una mitjana és un segment que uneix qualsevol dels tres vèrtexs amb el punt mitjà del costat oposat. De vegades també s'anomena mitjana a la línia recta que conté aquest segment. Cada triangle té exactament tres mitjanes, una per cada vèrtex.
Cada mitjana divideix el triangle en dos triangles que tenen la mateixa àrea. Les tres mitjanes es creuen en un punt \(G\) anomenat baricentre, centre de gravetat o centroide i divideixen el triangle en sis triangles de la mateixa àrea.
La distància entre el baricentre i un vèrtex és igual a dos terços de la longitud de la mitjana. Per tant, la distància entre el baricentre i el punt mitjà del costat oposat es igual al terç restant.
Si les coordenades dels vèrtexs són \(A(a_1,a_2)\), \(B(b_1,b_2)\) i \(C(c_1,c_2)\), aleshores les coordenades del baricentre són:
\(G\left( \dfrac{a_1+b_1+c_1}{3},\dfrac{a_2+b_2+c_2}{3} \right)\)
Exemple
Volem trobar el baricentre \(G\) d'un triangle que té els tres vèrtexs situats als punts \(A(0,1)\), \(B(10,4)\) i \(C(5,10)\).
\(G\left( \dfrac{0+10+5}{3},\dfrac{1+4+10}{3} \right) \quad\Rightarrow\quad G\left( 5,5 \right) \)
Exercici 41
Troba les coordenades del baricentre del triangle de vèrtexs \(P(3,7)\), \(Q(1,4)\) i \(R(5,4)\).
| Solució: |
Exercici 42
Les coordenades de dos vèrtexs d'un triangle són \(A(-2,-2)\) i \(B(8,2)\). Troba les coordenades del tercer vèrtex \(C\) sabent que el baricentre es troba situat al punt \(G(0,3)\).
| Solució: |