Donats dos vectors \(\vec{u}=\left(u_1,u_2\right)\) i \(\vec{v}=\left(v_1,v_2\right)\), s'anomena producte escalar d'aquests dos vectors al nombre real:
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = \left|\vec{u}\right| \, \left|\vec{v}\right| \cos\alpha\)
on \(\left|\vec{u}\right|\) i \(\left|\vec{v}\right|\) són els mòduls dels dos vectors i \(\alpha\) l'angle que formen.
També es pot calcular el producte escalar a partir dels components en la base canònica:
\( \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1+u_2v_2 \)
Observacions:
Tot i que es tracta d'una operació entre vectors, el resultat del producte escalar és un nombre real.
Dos vectors defineixen dos angles, \(\alpha\) i \(360^{\circ}-\alpha\), però degut a que \(\cos(360^{\circ}-\alpha)=\cos\alpha\), la definició de producte escalar no presenta cap ambigüitat.
Si algun dels vectors és \(\vec{0}\), aleshores els vectors no formen cap angle, però el producte escalar és \(0\) perquè la fórmula a partir dels components canònics segueix sent vàlida.
Exercici 27
Calcula els següents productes escalars:
| \(\vec{e}_1\cdot\vec{e}_1=\) | \(\vec{e}_1\cdot\vec{e}_2=\) |
| \(\vec{e}_2\cdot\vec{e}_1=\) | \(\vec{e}_2\cdot\vec{e}_2=\) |
Exercici 28
Calcula el producte escalar dels vectors \(\vec{v}=(3,-2)\) i \(\vec{w}=(1,4)\).
| Solució: |
Commutativa:
\(\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}\)
Distributiva respecte a la suma de vectors:
\(\vec{u}\cdot\left(\vec{v}+\vec{w}\right)=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}\)
Associativa del producte d'un nombre real pel producte escalar de dos vectors:
\(k\,(\vec{u}\cdot\vec{v})=(k\,\vec{u})\cdot\vec{v}=\vec{u}\cdot(k\,\vec{v})\)
Relació entre el mòdul d'un vector i \(\vec{u}\cdot\vec{u}\)
\(\vec{u}\cdot\vec{u}=\left|\vec{u}\right|^2\)
El producte escalar de dos vectors permet calcular l'angle que formen.
\(\displaystyle \cos\alpha=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\left|\vec{u}\right|\,\left|\vec{v}\right|}\)
El producte escalar de dos vectors ortogonals (perpendiculars) és zero.
\(\vec{u}\perp\vec{v}\quad\Rightarrow\quad\vec{u}\cdot\vec{v}=0\)
\(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\quad\Rightarrow\quad\left\lbrace\begin{align}\vec{u}=0\\\vec{v}=0\\\vec{u}\perp\vec{v}\end{align}\right.\)
El producte escalar de dos vectors és igual al mòdul d'un d'ells per la projecció de l'altre sobre el primer.
\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} = \left|\overrightarrow{OA}\right|\cdot\left|\overrightarrow{OB}\right|\cdot\cos\alpha = \left|\overrightarrow{OA}\right|\cdot\text{proj}\,\overrightarrow{OB}_{\overrightarrow{OA}}\)
La projecció del \(\overrightarrow{OB}\) sobre el vector \(\overrightarrow{OA}\) es defineix com
\( \text{proj}\,\overrightarrow{OB}_{\overrightarrow{OA}} = \left|\overrightarrow{OB}\right|\cdot\cos\alpha \),
i és un nombre real que pot ser positiu o negatiu. Coincideix amb la longitud \(\overline{OB'}\) quan \(\alpha\) és agut, i és igual a \(-\overline{OB'}\) quan \(\alpha\) és obtús.
Projecció d'un vector sobre un altre
\(\displaystyle\text{proj}\,\vec{b}_{\vec{a}} = \left|\vec{b}\right|\cdot\cos\alpha = \frac{\vec{b}\cdot\vec{a}}{\left|\vec{a}\right|}=\vec{b}\cdot\vec{u}_a\)
\(\text{proj}\,\vec{b}_{\vec{a}}\): projecció del vector \(\vec{b}\) en la direcció definida pel vector \(\vec{a}\).
\(\alpha\): angle determinat pels vectors \(\vec{a}\) i \(\vec{b}\).
\(\vec{u}_a\): vector unitari en la direcció del vector \(\vec{a}\).
Exercici 30
Calcula la projecció del vector \(\vec{b}=(6,-1)\) sobre la direcció determinada pel vector \(\vec{a}=(5,5)\)
| Solució: |
Exercici 31
Calcula la projecció del vector \(\vec{b}=(8,3)\) sobre la direcció determinada pel vector \(\vec{a}=(0,4)\)
| Solució: |
Exercici 32
Donats els següents vectors \(\vec{a}=(5,3)\), \(\vec{b}=(1,-2)\), \(\vec{c}=(6,-10)\) i \(\vec{d}=(1,2)\), esbrina quins són perpendiculars.
| Solució: |
Exercici 33
Calcula l'angle que formen els vectors \(\vec{p}=(-1,-2)\) i \(\vec{q}=(6,2)\).
| Solució: |