S'anomena combinació lineal de dos vectors \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) a qualsevol expressió de la forma:
\(a\vec{u}+b\vec{v}\)
on \(a\) i \(b\) són dos nombres reals.
Exercici 14
Donats els vectors \(\vec{u}=(5,-3)\) i \(\vec{v}=(-2,4)\), troba les següents combinacions lineals:
| \(3\vec{u}+4\vec{v}\) | Solució: | |
| \(-5\vec{u}+\vec{v}\) | Solució: | |
| \(\dfrac{2}{3}\vec{u}-\dfrac{3}{2}\vec{v}\) | Solució: |
Es poden definir combinacions lineals amb tres o més vectors. Per exemple, una combinació lineal del tres vectors \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) i \(\vec{w}\) es una expressió de la forma \(a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}\), on \(a\), \(b\) i \(c\) són tres nombres reals qualssevol.
També es pot definir una combinació lineal d'un vector \(\vec{u}\) com una expressió de la forma \(a\vec{u}\), on \(a\) és qualsevol nombres reals.
Les combinacions lineals de dos vectors lliures del pla són importants per la següent propietat:
Si dos vectors lliures del pla \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) tenen direccions diferents, aleshores qualsevol altre vector del pla \(\vec{w}\) es pot expressar com a combinació lineal de \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\).
\(\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}\)
A més aquesta combinació lineal és única.
Exemple
Volem expressar el vector \(\vec{w}=(11,7)\) com a combinació lineal dels vectors \(\vec{u}=(1,2)\) i \(\vec{v}=(3,1)\). A partir de l'equació vectorial \(\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}\) podem escriure un sistema de dues equacions amb dues incògnites.
\( \begin{align} \vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v} \quad &\Rightarrow\quad (11,7)=a(1,2)+b(3,1) \\[8pt] &\Rightarrow\quad (11,7)=(a,2a)+(3b,b) \\[8pt] &\Rightarrow\quad (11,7)=(a+3b,2a+b) \\[8pt] &\Rightarrow\quad \left.\begin{array}{l} a+3b=11 \\ 2a+b=7 \end{array}\right\rbrace \quad\Rightarrow\quad \left\lbrace\begin{array}{r} a=2 \\ b=3 \end{array}\right. \end{align} \)
Per tant:
\(\vec{w}=2\vec{u}+3\vec{v}\)
Exercici 15
Expressa el vector \(\vec{w}=(-1,-5)\) com a combinació lineal dels vectors \(\vec{u}=(3,-1)\) i \(\vec{v}=(-2,2)\).
| Solució: |
Exercici 16
Expressa el vector \(\vec{w}=(7,1)\) com a combinació lineal dels vectors \(\vec{u}=(3,2)\) i \(\vec{v}=(1,-1)\).
| Solució: |
Exercici 17
Expressa el vector \(\vec{w}=(5,4)\) com a combinació lineal dels vectors \(\vec{u}=(6,-3)\) i \(\vec{v}=(-4,2)\).
| Solució: |
Es diu que un conjunt de vectors lliures del pla són linealment dependents si algun d'ells es pot escriure com a combinació lineal dels altres.
En cas contrari, és a dir, si cap d'ells es pot escriure com a combinació lineal dels altres es diu que els vectors són linealment independents.
Dependència lineal de dos vectors
Dos vectors del pla \(\vec{u}=\left(u_1,u_2\right)\) i \(\vec{v}=\left(v_1,v_2\right)\) són linealment dependents si es verifica qualsevol d'aquestes propietats:
Els vectors \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) tenen la mateixa direcció.
Existeix algun nombre real \(k\) tal que \(\vec{u}=k\cdot\vec{v}\).
Els seus components són proporcionals: \(\dfrac{u_1}{v_1}=\dfrac{u_2}{v_2}\).
Multiplicant en creu els seus components s'obté el mateix resultat: \( u_1 \cdot v_2 = u_2 \cdot v_1 \).
Si es verifica qualsevol d'aquestes propietats també es verifiquen les altres. Són propietats equivalents.
Exercici 18
Indica si els següents parells de vectors són linealment dependents o independents.
| \(\vec{a}=(6,-2)\) i \(\vec{b}=(-3,1)\) | Solució: | |
| \(\vec{c}=(6,4)\) i \(\vec{d}=(2,3)\) | Solució: | |
| \(\vec{e}=(35,15)\) i \(\vec{f}=(91,39)\) | Solució: | |
| \(\vec{g}=(23,0)\) i \(\vec{h}=(-17,0)\) | Solució: |
Exercici 19
Quin valor del paràmetre \(a\) fa que el vectors \(\vec{u}=\left( \dfrac{3}{5},-\dfrac{5}{4} \right)\) i \(\vec{v}=\left( \dfrac{8}{3}, a \right)\) siguin linealment dependents?
| Solució: |
Exercici 20
Quins valors del paràmetre \(k\) fan que el vectors \(\vec{a}=\left( \dfrac{3}{7},-5 \right)\) i \(\vec{b}=\left( 6, k \right)\) siguin linealment independents?
| Solució: |
Dependència lineal de tres vectors
En el pla, un conjunt de vectors lliures com a màxim pot tenir dos vectors linealment independents. Qualsevol conjunt de tres o més vectors seran linealment dependents, és a dir, algun d'ells es pot escriure com a combinació lineal dels altres.
Exemple
Volem comprovar que els vectors \(\vec{a}=(5,-1)\), \(\vec{b}=(-4,-1)\) i \(\vec{c}=(2,5)\) són linealment dependents. Per fer-ho intentem escriure un d'ells com a combinació lineal dels altres dos.
\( \begin{align} \vec{a}=x\vec{b}+y\vec{c} \quad &\Rightarrow\quad (5,-1)=x(-4,-1)+y(2,5) \\[8pt] &\Rightarrow\quad (5,-1)=(-4x,-x)+(2y,5y) \\[8pt] &\Rightarrow\quad (5,-1)=(-4x+2y,-x+5y) \\[8pt] &\Rightarrow\quad \left.\begin{array}{l} -4x+2y=5 \\ -x+5y=-1 \end{array}\right\rbrace \quad\Rightarrow\quad \left\lbrace\begin{array}{r} x=-\dfrac{3}{2} \\ y=-\dfrac{1}{2} \end{array}\right. \end{align} \)
Per tant:
\(\vec{a}=-\dfrac{3\vec{b}}{2}-\dfrac{\vec{c}}{2}\)
Els vectors \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) i \(\vec{c}\) són linealment dependents.
Exemple
Volem comprovar que els vectors \(\vec{a}=(1,-3)\), \(\vec{b}=(-2,6)\) i \(\vec{c}=(3,4)\) són linealment dependents. En aquest cas és més senzill degut a que els dos primers vectors ja són v.l.d. Per tant:
\( \vec{b} = -2\vec{a} \)
Els vectors \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) i \(\vec{c}\) són linealment dependents.
Important: Hem de començar sempre comprovant si algun parell de vectors són v.l.d. En aquest exemple si haguéssim intentat escriure el vector \(\vec{a}\) com a c.l. dels altres dos hauríem trobat que:
\( \vec{a} = -\dfrac{1}{2} \vec{b} + 0\vec{c}\),
i si haguéssim intentat escriure el vector \(\vec{b}\) com a c.l. dels altres dos hauríem trobat que:
\( \vec{b} = -2 \vec{a} + 0\vec{c}\),
però si haguéssim intentat escriure el vector \(\vec{c}\) com a c.l. dels altres dos hauríem arribat a un sistema incompatible sense solució.
Exercici 21
Comprova que el vectors \(\vec{a}=(3,3)\), \(\vec{b}=(-2,1)\) i \(\vec{c}=(2,-10)\) són linealment dependents.
| Solució: |
Exercici 22
Comprova que el vectors \(\vec{a}=(5,2)\), \(\vec{b}=(9,12)\) i \(\vec{c}=(15,20)\) són linealment dependents.
| Solució: |
Una base del pla és qualsevol conjunt \( B = \Big\lbrace \vec{u}, \vec{v} \Big\rbrace \) format per dos vectors lliures del pla linealment independents.
Qualsevol altre vector del pla es pot expressar com a una combinació lineal dels vectors de la base \(B\).
\(\vec{w} = \lambda \vec{u} + \mu \vec{v} \)
Els coeficients \(\lambda\) i \(\mu\) s'anomenen components del vector \(\vec{w}\) en la base \(B\). Això es pot expressar de la següent manera:
\(\vec{w} = (\lambda,\mu)_B \)
Exemple
Volem trobar els components del vector \(\vec{w}=(-5,3)\) en la base \( B = \Big\lbrace (1,1), (-1,3) \Big\rbrace \). El que farem és expressar el vector \(\vec{w}\) com a c.l. dels vectors de la base.
\( \begin{align} (-5,3) = \lambda(1,1) + \mu(-1,3) \quad &\Rightarrow\quad \left\lbrace\begin{array}{l} \lambda - \mu = -5 \\ \lambda + 3\mu = 3 \end{array}\right. \\[8pt] &\Rightarrow\quad \left\lbrace\begin{array}{l} \lambda = -3 \\ \mu = 2 \end{array}\right. \\[8pt] &\Rightarrow\quad (-5,3) = -3\,(1,1) + 2\,(-1,3) \\[8pt] &\Rightarrow\quad (-5,3) = (-3,2)_B \end{align} \)
Una base especialment important és la base canònica formada pels vectors unitaris perpendiculars \(\vec{e_1}=(1,0)\) i \(\vec{e_2}=(0,1)\).
Exemple
El vector \(\vec{a}=(5,-2)\) en la base canònica \( B = \Big\lbrace \vec{e_1}, \vec{e_2} \Big\rbrace \) és:
\(\vec{a} = (5,-2) = 5\vec{e_1}-2\vec{e_2} \)
Exercici 23
Troba els components del vector \(\vec{a}=(-1,10)\) en la base \( B = \Big\lbrace (3,2), (-1,2) \Big\rbrace \).
Solució:Exercici 24
Els components del vector \(\vec{p}\) en la base \( B = \Big\lbrace (6,1), (3,-2) \Big\rbrace \) són \((2,-5)_B\). Determina els components de \(\vec{p}\) en la base canònica.
Solució:Exercici 25
Troba els components del vector \(\vec{u}=(4,5)\) en la base \( B = \Big\lbrace (1,2), (3,-1) \Big\rbrace \).
Solució:Exercici 26
Els components del vector \(\vec{a}\) en la base \( B = \Big\lbrace (1,3), (2,-1) \Big\rbrace \) són \((5,2)_B\). Quins són els components d’aquest mateix vector en la base \( B' = \Big\lbrace (4,-1), (3,2) \Big\rbrace \)?
Solució: