Per sumar dos vectors lliures \(\vec{a}\) i \(\vec{b}\) es dibuixa el vector \(\vec{a}\) i es dibuixa el vector \(\vec{b}\) fent que el seu origen coincideixi amb el final de \(\vec{a}\). D'aquesta manera el vector suma és el vector que va des de l'origen del vector \(\vec{a}\) fins al final del vector \(\vec{b}\).
Si \(\vec{a}=(a_1,a_2)\) i \(\vec{b}=(b_1,b_2)\), aleshores els components del vector \(\vec{a}+\vec{b}\) són:
\(\displaystyle \bbox[15px,border:1px solid]{ \vec{a}+\vec{b}=(a_1,a_2)+(b_1,b_2)=(a_1+b_1,a_2+b_2) }\)
Un altre mètode gràfic per sumar dos vectors lliures és el que s'anomena regla del paral·lelogram. Primer es dibuixen els dos vectors amb el mateix origen. A continuació s'aplica cada un dels vectors al punt final de l'altre. D'aquesta manera es completa un paral·lelogram. El vector suma és la diagonal del paral·lelogram que té el mateix origen que els vectors sumands.
Commutativa:
\(\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}\)
Associativa:
\(\vec{a}+\big(\vec{b}+\vec{c}\big)=\big(\vec{a}+\vec{b}\big)+\vec{c}\)
Element neutre: L'element neutre de la suma de vectors és un vector, que es designa per \(\vec{0}\), s'anomena vector nul, els seus components són iguals a zero, \(\vec{0}=(0,0)\), i verifica:
\(\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}\)
Element simètric: Cada vector \(\vec{a}=(a_1,a_2)\) té un element simètric, que es designa per \(-\vec{a}\), s'anomena vector oposat, els seus components són \(-\vec{a}=(-a_1,-a_2)\), i verifica:
\(\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}\)
L'existència d'un element oposat permet definir la resta de vectors a partir de la suma. Donats dos vectors \(\vec{a}=(a_1,a_2)\) i \(\vec{b}=(b_1,b_2)\) es defineix la resta \(\vec{a}-\vec{b}\) com la suma del vector \(\vec{a}\) més l'oposat de \(\vec{b}\).
\(\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})=\Big(a_1+(-b_1),a_2+(-b_2)\Big)=\big(a_1-b_1,a_2-b_2\big)\)
Per tant:
\(\displaystyle \bbox[15px,border:1px solid]{ \vec{a}-\vec{b}=(a_1,a_2)-(b_1,b_2)=(a_1-b_1,a_2-b_2) }\)
Es pot fer servir la regla del paral·lelogram per representar també la resta de vectors. El vector \(\vec{a}-\vec{b}\) es representa a l'altra diagonal i està orientat des de l'extrem de \(\vec{b}\) fins a l'extrem de \(\vec{a}\).
Exercici 6
Donats els vectors \(\vec{u}=(3,-5)\), \(\vec{v}=(-2,6)\) i \(\vec{w}=(0,-4)\), calcula:
| \(\vec{u}+\vec{v}\) | Solució: | |
| \(\vec{v}-\vec{w}\) | Solució: | |
| \(\vec{u}-\vec{v}+\vec{w}\) | Solució: |
Exercici 7
Donats els vectors \(\vec{a}=(-3,3)\) i \(\vec{b}=(7,1)\) comprova si es verifica la desigualtat:
\(\left|\vec{a}+\vec{b}\right| \le \left|\vec{a}\right|+\left|\vec{b}\right|\)
Solució:Exercici 8
Donats els vectors \(\vec{a}=(2,1)\) i \(\vec{b}=(6,3)\) comprova si es verifica la desigualtat:
\(\left|\vec{a}+\vec{b}\right| \le \left|\vec{a}\right|+\left|\vec{b}\right|\)
Solució:Siguin \(\vec{a}=(a_1,a_2)\) un vector lliure i \(k\) un nombre real. El producte \(k\cdot\vec{a}\) es defineix com un vector de components \((k \cdot a_1,k \cdot a_2)\)
\(\displaystyle \bbox[15px,border:1px solid]{ k\cdot\vec{a}=k\cdot(a_1,a_2)=(k\cdot a_1,k\cdot a_2) }\)
Exercici 9
Donats els vectors \(\vec{u}=(2,-1)\) i \(\vec{v}=-3\vec{u}\), representa gràficament els vectors \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) i compara les seves direccions, els seus sentits i els seus mòduls.
|
Solució:
|
El vector \(k\cdot\vec{a}\) té la mateixa direcció que el vector \(\vec{a}\), el mateix sentit si \(k\gt0\) o sentit contrari si \(k\lt0\) i els seus mòduls verifiquen:
\(\displaystyle \left|k\cdot\vec{a}\right| = \left|k\right| \cdot \left|\vec{a}\right|\)
Distributiva respecte a la suma de vectors:
\( k\cdot\left(\vec{a}+\vec{b}\right)=k\cdot\vec{a}+k\cdot\vec{b} \)
Distributiva respecte a la suma de nombres reals:
\( \left(k+l\right)\cdot\vec{a}=k\cdot\vec{a}+l\cdot\vec{a} \)
Pseudoassociativa:
\(\left( k \cdot l \right)\cdot\vec{a}= k \cdot\left( l \cdot\vec{a}\right)\)
Element neutre:
\( 1\cdot\vec{a}=\vec{a} \)
Exercici 10
Donats els vectors \(\vec{a}=(3,-5)\) i \(\vec{b}=(-2,3)\), troba els components del vector \(\vec{c}=2\vec{a}-5\vec{b}\)
Solució:Exercici 11
Donats els vectors \(\vec{a}=(1,4)\), \(\vec{b}=(0,-3)\) i \(\vec{c}=(3,-2)\), troba els components del vector \(\vec{v}=3\vec{a}+2\vec{b}-5\vec{a}+4\left(\vec{b}+\vec{c}\right)\)
Solució:Un vector unitari és un vector que té mòdul \(1\).
Normalitzar un vector \(\vec{v}=\left(v_1,v_2\right)\) consisteix en obtenir un vector unitari, \(\vec{u_v}\), de la mateixa direcció i sentit que \(\vec{v}\). Per fer-ho es multiplica el vector per l'invers del seu mòdul, que és el mateix que dividir els seus components pel seu mòdul.
\(\displaystyle \bbox[15px,border:1px solid]{ \vec{u_v}=\dfrac{1}{\left|\vec{v}\right|}\cdot\vec{v}=\left(\dfrac{v_1}{\left|\vec{v}\right|},\dfrac{v_2}{\left|\vec{v}\right|}\right) }\)
Exemple
Volem trobar un vector unitari amb la mateixa direcció i el mateix sentit que el vector \(\vec{v}=(16,-30)\). Primer calculem el seu mòdul.
\(\left|\vec{v}\right|=\sqrt{16^2+30^2}=34\)
Ara dividim els components de \(\vec{v}\) entre el seu mòdul.
\(\displaystyle\vec{u_v}=\left(\dfrac{16}{34},\dfrac{-30}{34}\right)=\left(\dfrac{8}{17},\dfrac{-15}{17}\right)\)
Exercici 12
Comprova si els següents vectors són unitaris:
| \(\vec{a}=\left( -\dfrac{5}{13}, \dfrac{12}{13} \right)\) | Solució: | |
| \(\vec{b}=\left( \dfrac{1}{4}, \dfrac{3}{4} \right)\) | Solució: | |
| \(\vec{c}=\left( \dfrac{3}{5}, -\dfrac{4}{5} \right)\) | Solució: | |
| \(\vec{d}=\left( \text{0,5}, \text{0,5} \right)\) | Solució: | |
| \(\vec{e}=\left( \dfrac{\sqrt{3}}{3}, \dfrac{\sqrt{6}}{3} \right)\) | Solució: |