La distància entre dos elements del pla sempre és el camí més curt entre ells.
Siguin \(A\left(x_A,y_A\right)\) i \(B\left(x_B,y_B\right)\) dos punts del pla. Es defineix la distància entre ells com el mòdul de qualsevol del dos vectors que els uneix.
\(\text{d}(A,B)=\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}\)
Propietats:
\(\text{d}(A,B)\ge0\)
\(\text{d}(A,B)=0 \quad\Leftrightarrow\quad A=B\)
\(\text{d}(A,B)=\text{d}(B,A)\)
\(\text{d}(A,B)\le\text{d}(A,C)+\text{d}(C,B)\), (desigualtat triangular)
Exercici 33
Comprova amb els punts \(A(5,7)\), \(B(8,-2)\) i \(C(6,4)\) si es verifica la desigualtat triangular:
\(\text{d}(A,B)\le\text{d}(A,C)+\text{d}(C,B)\)
Solució:Donats un punt del pla \(P\left(x_P,y_P\right)\) i una recta \(r\), el punt de la recta més proper a \(P\) és \(P'\), la projecció ortogonal de \(P\) sobre \(r\). Per tant:
\(\text{d}(P,r)=\text{d}(P,P')\)
Aquest mètode per calcular la distància d'un punt a una recta, tot i que és correcte, no és gaire útil. A la pràctica es fa servir un altre mètode que es dedueix a continuació.
Distància d'un punt a una recta expressada en forma general
Donats un punt \(P(x_p,y_P)\), una recta \(r\) d'equació general \(Ax+By+C=0\) i un punt \(Q(x_Q,y_Q)\) qualsevol de la recta, es verifica que:
\(\text{d}(P,r) = \text{d}(P,P') = \dfrac{\left|\overrightarrow{QP}\cdot\vec{n}\right|}{\left|\vec{n}\right|} \)
on l'última expressió és el valor absolut de la projecció del vector \(\overrightarrow{QP}\) sobre el vector normal \(\vec{n}=(A,B)\) de la recta \(r\).
Per tant:
\( \begin{align} \text{d}(P,r) &= \dfrac{\left|\overrightarrow{QP}\cdot\vec{n}\right|}{\left|\vec{n}\right|} \\[8pt] &= \dfrac{\left|\left(x_P-x_Q,y_P-y_Q\right)\cdot(A,B)\right|}{\sqrt{A^2+B^2}} \\[8pt] &= \dfrac{\left|A\Big(x_P-x_Q\Big)+B\left(y_P-y_Q\right)\right|}{\sqrt{A^2+B^2}} \\[8pt] &= \dfrac{\left|A\,x_P-A\,x_Q+B\,y_P-B\,y_Q\right|}{\sqrt{A^2+B^2}} \end{align} \)
Per últim, degut a que el punt \(Q\) pertany a la recta, les seves coordenades verifiquen que:
\( A\,x_Q+B\,y_Q+C=0 \quad\Rightarrow\quad -A\,x_Q-B\,y_Q=C \)
Per tant:
\( \text{d}(P,r) = \dfrac{\left|A\,x_P+B\,y_P+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}} \)
Si \(r\) i \(s\) són dues rectes del pla, es defineix la distància entre \(r\) i \(s\) com la més petita de les distàncies possibles entre un punt \(P\) de \(r\) i un punt \(Q\) de \(s\). Per tant:
Si les dues rectes són coincidents: \(\text{d}(r,s)=0\).
Si les dues rectes són secants: \(\text{d}(r,s)=0\).
Si les dues rectes son paral·leles: \(\text{d}(r,s)=\text{d}(P,s)=\text{d}(r,Q)\).
Exercici 38
Donats el triangle de vèrtexs \(A(-1,-1)\), \(B(5,1)\) i \(C(2,4)\):
Exercici 39
Els vèrtexs corresponents al costat desigual d'un triangle isòsceles se situen en els punts \(A(–2,2)\) i \(B(2,0)\). El tercer vèrtex \(C\) és un punt de la recta \(r:\;3x-y-2=0\). Troba les coordenades de \(C\) i calcula el perímetre i l'àrea del triangle.
Solució:La bisectriu d'un angle és la recta que el divideix en dos angles iguals.
Dues rectes secants determinen quatre angles iguals dos a dos i, per tant, determinen dues bisectrius. Per trobar l'equació de la bisectriu es fa servir que els seus punts equidisten de cadascuna de les rectes que determinen l'angle.
Siguin dues rectes secants en forma general \(r:\;A_rx+B_ry+C_r\) i \(s:\;A_sx+B_sy+C_s\) i sigui un punt genèric \(X(x,y)\) de la bisectriu. Per trobar l'equació que verifiquen les coordenades de \(X\) s'imposa la condició \(\text{d}(X,r)=\text{d}(X,s)\).
\( \begin{align} \text{d}(X,r)=\text{d}(X,s) \quad &\Rightarrow\quad \dfrac{\left|A_rx+B_ry+C_r\right|}{\sqrt{A_r^2+B_r^2}}=\dfrac{\left|A_sx+B_sy+C_s\right|}{\sqrt{A_s^2+B_s^2}} \\[10pt] &\Rightarrow\quad \dfrac{A_rx+B_ry+C_r}{\sqrt{A_r^2+B_r^2}}=\pm\dfrac{A_sx+B_sy+C_s}{\sqrt{A_s^2+B_s^2}} \end{align} \)
Exercici 40
Determina les equacions de les bisectrius dels angles que formen les rectes \(r:\;x-y-2=0\) i \(s:7x-y-20=0\). Comprova que són perpendiculars.
Solució: