Distàncies en el pla

La distància entre dos elements del pla sempre és el camí més curt entre ells.

Distància entre dos punts

Siguin \(A\left(x_A,y_A\right)\) i \(B\left(x_B,y_B\right)\) dos punts del pla. Es defineix la distància entre ells com el mòdul de qualsevol del dos vectors que els uneix.

\(\text{d}(A,B)=\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}\)

Propietats:

Exercici 33

Comprova amb els punts \(A(5,7)\), \(B(8,-2)\) i \(C(6,4)\) si es verifica la desigualtat triangular:

\(\text{d}(A,B)\le\text{d}(A,C)+\text{d}(C,B)\)

Solució:

Distància d'un punt a una recta

Donats un punt del pla \(P\left(x_P,y_P\right)\) i una recta \(r\), el punt de la recta més proper a \(P\) és \(P'\), la projecció ortogonal de \(P\) sobre \(r\). Per tant:

\(\text{d}(P,r)=\text{d}(P,P')\)

Exercici 34

Troba la distància del punt \(P(-1,3)\) a la recta \(r:\;y=2x-5\).

Solució:

Aquest mètode per calcular la distància d'un punt a una recta, tot i que és correcte, no és gaire útil. A la pràctica es fa servir un altre mètode que es dedueix a continuació.

Distància d'un punt a una recta expressada en forma general

Donats un punt \(P(x_p,y_P)\), una recta \(r\) d'equació general \(Ax+By+C=0\) i un punt \(Q(x_Q,y_Q)\) qualsevol de la recta, es verifica que:

\(\text{d}(P,r) = \text{d}(P,P') = \dfrac{\left|\overrightarrow{QP}\cdot\vec{n}\right|}{\left|\vec{n}\right|} \)

on l'última expressió és el valor absolut de la projecció del vector \(\overrightarrow{QP}\) sobre el vector normal \(\vec{n}=(A,B)\) de la recta \(r\).

Per tant:

\( \begin{align} \text{d}(P,r) &= \dfrac{\left|\overrightarrow{QP}\cdot\vec{n}\right|}{\left|\vec{n}\right|} \\[8pt] &= \dfrac{\left|\left(x_P-x_Q,y_P-y_Q\right)\cdot(A,B)\right|}{\sqrt{A^2+B^2}} \\[8pt] &= \dfrac{\left|A\Big(x_P-x_Q\Big)+B\left(y_P-y_Q\right)\right|}{\sqrt{A^2+B^2}} \\[8pt] &= \dfrac{\left|A\,x_P-A\,x_Q+B\,y_P-B\,y_Q\right|}{\sqrt{A^2+B^2}} \end{align} \)

Per últim, degut a que el punt \(Q\) pertany a la recta, les seves coordenades verifiquen que:

\( A\,x_Q+B\,y_Q+C=0 \quad\Rightarrow\quad -A\,x_Q-B\,y_Q=C \)

Per tant:

\( \text{d}(P,r) = \dfrac{\left|A\,x_P+B\,y_P+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}} \)

Exercici 35

Troba la distància de l'origen de coordenades a la recta \(r:\;6x-8y+5=0\).

Solució:

Exercici 36

Troba la distància del punt \(P(6,-3)\) a la recta \(r:\;y=-2x+5\).

Solució:

Distància entre dues rectes

Si \(r\) i \(s\) són dues rectes del pla, es defineix la distància entre \(r\) i \(s\) com la més petita de les distàncies possibles entre un punt \(P\) de \(r\) i un punt \(Q\) de \(s\). Per tant:

Exercici 37

Troba la distància entre les rectes \(2x-3y+5=0\) i \(4x-6y+3=0\).

Solució:

Exercici 38

Donats el triangle de vèrtexs \(A(-1,-1)\), \(B(5,1)\) i \(C(2,4)\):

  1. Troba la longitud del costat \(AB\).

    Solució:
  2. Troba l'altura relativa al vèrtex \(C\).

    Solució:
  3. Calcula la superfície del triangle.

    Solució:

Exercici 39

Els vèrtexs corresponents al costat desigual d'un triangle isòsceles se situen en els punts \(A(–2,2)\) i \(B(2,0)\). El tercer vèrtex \(C\) és un punt de la recta \(r:\;3x-y-2=0\). Troba les coordenades de \(C\) i calcula el perímetre i l'àrea del triangle.

Solució:

Bisectriu dels angles que formen dues rectes

La bisectriu d'un angle és la recta que el divideix en dos angles iguals.

Dues rectes secants determinen quatre angles iguals dos a dos i, per tant, determinen dues bisectrius. Per trobar l'equació de la bisectriu es fa servir que els seus punts equidisten de cadascuna de les rectes que determinen l'angle.

Siguin dues rectes secants en forma general \(r:\;A_rx+B_ry+C_r\) i \(s:\;A_sx+B_sy+C_s\) i sigui un punt genèric \(X(x,y)\) de la bisectriu. Per trobar l'equació que verifiquen les coordenades de \(X\) s'imposa la condició \(\text{d}(X,r)=\text{d}(X,s)\).

\( \begin{align} \text{d}(X,r)=\text{d}(X,s) \quad &\Rightarrow\quad \dfrac{\left|A_rx+B_ry+C_r\right|}{\sqrt{A_r^2+B_r^2}}=\dfrac{\left|A_sx+B_sy+C_s\right|}{\sqrt{A_s^2+B_s^2}} \\[10pt] &\Rightarrow\quad \dfrac{A_rx+B_ry+C_r}{\sqrt{A_r^2+B_r^2}}=\pm\dfrac{A_sx+B_sy+C_s}{\sqrt{A_s^2+B_s^2}} \end{align} \)

Exercici 40

Determina les equacions de les bisectrius dels angles que formen les rectes \(r:\;x-y-2=0\) i \(s:7x-y-20=0\). Comprova que són perpendiculars.

Solució:

Exercici 41

Donat el triangle de vertexs \(A(2,2)\), \(B(6,2)\) i \(C(2,5)\) , determina:

  1. Les equacions de les bisectrius dels angles del triangle.

    Solució:
  2. Les coordenades de l'incentre (intersecció de les tres bisectrius).

    Solució:
  3. El radi de la circumferència inscrita.

    Solució: