Un vector fix és un segment orientat que connecta un punt inicial amb un punt final. El punt inicial s'anomena també origen o punt d'aplicació, i el punt final extrem. Si \(A(x_A,y_A)\) és el punt inicial i \(B(x_B,y_B)\) és el punt final, aleshores el vector fix es designa \(\overrightarrow{AB}\), es representa gràficament amb una fletxa que comença al punt \(A\) i apunta cap al punt \(B\) i els seus components cartesians s'obtenen restant a les coordenades de \(B\) les coordenades de \(A\) i quantifiquen el desplaçament per anar del punt \(A\) al punt \(B\).
\(\displaystyle \left.\begin{array}{l} A(x_A,y_A) \\ B(x_B,y_B) \end{array}\right\rbrace\quad\Rightarrow\quad \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A) \)
El mòdul d'un vector fix \(\overrightarrow{AB}\) és la longitud del segment \(AB\). Es representa per \(\lvert\overrightarrow{AB}\rvert\) i sempre és un nombre positiu o zero. Es calcula de la següent manera:
\(\displaystyle \left| \overrightarrow{AB} \right| = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)
La direcció d'un vector fix \(\overrightarrow{AB}\) és la direcció determinada per la recta que el conté. En cada direcció es poden definir dos sentits oposats. El sentit d'un vector fix queda determinat per la punta de la fletxa.
Exercici 1
Donats els punts \(P(3,1)\) i \(Q(7,-2)\), troba els components cartesians i el mòdul del vector \(\overrightarrow{PQ}\).
|
Solució:
|
Dos vectors equipol·lents són dos vectors que tenen les mateixes components, per tant també tenen la mateixa direcció, el mateix sentit i el mateixa mòdul.
El conjunt de tots els vectors equipol·lents a un vector donat \(\overrightarrow{AB}\), s'anomena vector lliure.
Els vectors lliures es designen, generalment, amb una lletra minúscula amb una petita fletxa al capdamunt apuntant cap a la dreta, per exemple \(\vec{v}\). Per a determinar un vector lliure només cal conèixer-ne els components. No cal conèixer l'origen o l'extrem.
Exercici 2
Donats els punts \(A(3,-1)\), \(B(1,-4)\), \(C(-2,3)\) i \(F(2,1)\)
Exercici 3
Donats els punts \(A(-2,-3)\), \(B(2,-1)\) i \(C(-1,5)\), troba:
S'anomena vector posició del punt \(P\) al vector \(\vec{p}=\overrightarrow{OP}\) que uneix l'origen de coordenades \(O\) amb el punt. Els seus components coincideixen amb les coordenades del punt \(P\).
\(\displaystyle P(x_p,y_p)\quad\Rightarrow\quad\vec{p}=\overrightarrow{OP}=(x_p-0,y_p-0)=(x_p,y_p)\)
Altra manera de caracteritzar la posició d'un punt en el pla és a partir del mòdul \(r\) del seu vector posició \(\vec{p}=\vec{OP}\) i de l'angle \(\alpha\) que forma el vector posició amb el semieix positiu de l'eix \(OX\).
Aquests dos nombres \(r\) i \(\alpha\) s'anomenen coordenades polars del punt \(P\) i es poden relacionar amb les coordenades cartesianes \((x,y)\) mitjançant les fórmules de canvi de coordenades:
\(\bbox[15px,border:1px solid]{\begin{array}{l} \mathsf{De\;cartesianes\;a\;polars} \\[8pt] r=\sqrt{x^2+y^2} \\ \alpha=\arctan\frac{y}{x} \end{array}}\)
\(\bbox[15px,border:1px solid]{\begin{array}{l} \mathsf{De\;polars\;a\;cartesianes} \\[8pt] x=r\cos\alpha \\ y=r\sin\alpha \end{array}}\)
Exemple
Expressa en forma polar el vector posició del punt \(P(-5,12)\).
|
Resolució Calculem el mòdul i l'argument del vector \(\vec{p}=\overrightarrow{OP}=(-5,12)\) \( \begin{array}{l} r=\sqrt{(-5)^2+12^2}=13 \\[8pt] \alpha=\arctan\dfrac{12}{-5}\approx\text{112,6199}^{\circ} \end{array} \) Per tant: \(\vec{p}=13_{\text{112,6199}^{\circ}}\) |
Exemple
Expressa en forma cartesiana el vector posició \(\vec{p}=4_{120^{\circ}}\).
|
Resolució Calculem els components cartesians a partir del mòdul i l'argument de \(\vec{p}\) \( \begin{array}{l} x=4\cos 120^{\circ} = -2 \\[8pt] y=r\sin 120^{\circ} = 2\sqrt{3} \end{array} \) Per tant: \(\vec{p}=\big(-2,2\sqrt{3}\big)\) |
Exercici 4
Troba, de manera exacta, els components cartesians dels següents vectors: