Exercicis de trigonometria IV

Exercici 1

Suposem que les òrbites de la Terra i de Venus al voltant del Sol són circumferències de radis respectius \(15\cdot10^7\;\text{km}\) i \(\text{10,9}\cdot10^7\;\text{km}\).

1. A quina distància es troba Venus de la Terra quan l'angle d'observació Sol - Terra - Venus és de \(20^{\circ}\)?

   Solució:

   \( d_1 \approx \text{23,7126}\cdot10^7\;\text{km} \\ d_2 \approx \text{4,4782}\cdot10^7\;\text{km} \)

2. A quina distància es trobaran la Terra i Venus quan l'angle Terra - Sol - Venus sigui de 90°?

   Solució:

   \( d \approx \text{10,3049}\cdot10^7\;\text{km} \)

Exercici 2

El radar d'un vaixell detecta un objecte en direcció nord a \(5\;\text{km} \) de distància i un altre objecte en direcció sud-est a \(7\;\text{km} \). Quina distància separa aquest dos objectes?

Exercici 3

Des d'una certa distància, l'angle amb l'horitzontal de la visual cap al punt més alt d'un arbre és de \(60^{\circ}\). Ens allunyem \(10\) metres i l'angle anterior és ara de \(30^{\circ}\). Quina és l'alçària de l'arbre?

Exercici 4

Siguin \(A\), \(B\) i \(C\) els tres vèrtexs d'un triangle equilàter de costat \(3\;\text{cm}\) i \(P\) el punt del costat \(AB\) que és a \(1\;\text{cm}\) del vèrtex \(A\). Quina és la longitud del segment \(CP\)?

Exercici 5

Calculeu l'àrea del triangle \(ABC\) representat en l'esquema següent:

Exercici 6

Les agulles d'un rellotge de paret fan \(10\) i \(12\) centímetres, respectivament.

1. Quina és la distància entre els seus extrems quan el rellotge assenyala les quatre?

   Solució:

   \( d \approx \text{19,0788}\;\text{cm} \)

2. Quina és la superfície del triangle que determinen a aquesta hora?

   Solució:

   \( A \approx \text{51,9615}\;\text{cm}^2 \)

Exercici 7

Es vol mesurar l'amplada d'un riu. A una distància de \(25\;\text{m}\) d'una de les ribes hi ha una torre de telecomunicacions de \(35\;\text{m}\) d'alçària. Pugem dalt de la torre i observem l'angle que formen les visuals que van cap a una riba i cap a l'altra, que és de \(20^{\circ}\).

Exercici 8

Sobre una circumferència de radi \(1\;\text{m}\) i centre en el punt \(O\) considerem els cinc vèrtexs \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) d'un pentàgon regular (és a dir, amb els cinc costats de la mateixa longitud) com el del dibuix següent:

on hem dibuixat també els costats \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DE\) i \(EA\); les diagonals \(AC\), \(BD\), \(CE\), \(DA\) i \(EB\); i els radis que acaben en cada un dels vèrtexs \(OA\), \(OB\), \(OC\), \(OD\) i \(OE\)).

Calculeu:

1. L'angle que formen el radi que acaba en el vèrtex \(A\) amb el costat \(AB\) i l'angle que formen en el vèrtex \(A\) els dos costats que el tenen com a extrem (és a dir, l'angle \(A\) entre els costats \(EA\) i \(AB\)).

   Solució:

   \( \angle OAB = 54^{\circ} \) y \( \angle EAB = 108^{\circ} \)

2. La longitud de cada un dels costats del pentàgon.

   Solució:

   \( \displaystyle \overline{AB} = \frac{\sin 72^{\circ}}{\sin 54^{\circ}} \approx \text{1,1756 m} \)

3. La longitud de qualsevol de les diagonals (per exemple la \(EB\)).

   Solució:

   \(\displaystyle \overline{EB} = 2 \sin 72^{\circ} \approx \text{1,9021 m}\)

4. L'àrea del triangle \(EAB\).

   Solució:

   \( \displaystyle A = \sin 72^{\circ} \cdot (1-\cos 72^{\circ}) \approx \text{0,6572 m}^2 \)

Exercici 9

Us situeu en un punt d'un terreny horitzontal i l'angle que forma la visual dirigida al punt més alt d'un arbre amb l'horitzontal és de \(60^{\circ}\). Quin serà l'angle que formarà amb l'horitzontal la visual dirigida al punt més alt de l'arbre si us n'allunyeu a una distància triple de la que éreu abans?

Exercici 10

Els costats d'un triangle són de longituds 8 cm, 11 cm i 13 cm. Calculeu el valor del sinus de l'angle més petit.

Exercici 11

D'un paral·lelogram sabem que el costat més llarg mesura \(\text{20 cm}\), que la seva àrea és de \(\text{120 cm}^2\) i que l'angle més petit val \(30^{\circ}\).

Determineu:

1. El valor de l'altre angle del paral·lelogram (el més gran).

   Solució:

   \( 150^{\circ} \)

2. La longitud del costat petit.

   Solució:

   \( \text{12 cm} \)

3. El que mesura la diagonal més llarga.

   Solució:

   \(\displaystyle \sqrt{544+240\sqrt{3}}\approx\text{30,9789 cm}\)