Exercicis de trigonometria IV

Exercici 1

Suposem que les òrbites de la Terra i de Venus al voltant del Sol són circumferències de radis respectius $15\cdot10^7\;\text{km}$ i $\text{10,9}\cdot10^7\;\text{km}$.

1. A quina distància es troba Venus de la Terra quan l'angle d'observació Sol - Terra - Venus és de $20^{\circ}$?

   Solució:

   $d_1 \approx \text{23,7126}\cdot10^7\;\text{km} \\ d_2 \approx \text{4,4782}\cdot10^7\;\text{km}$

2. A quina distància es trobaran la Terra i Venus quan l'angle Terra - Sol - Venus sigui de 90°?

   Solució:

   $d \approx \text{10,3049}\cdot10^7\;\text{km}$

Exercici 2

El radar d'un vaixell detecta un objecte en direcció nord a $5\;\text{km}$ de distància i un altre objecte en direcció sud-est a $7\;\text{km}$. Quina distància separa aquest dos objectes?

Exercici 3

Des d'una certa distància, l'angle amb l'horitzontal de la visual cap al punt més alt d'un arbre és de $60^{\circ}$. Ens allunyem $10$ metres i l'angle anterior és ara de $30^{\circ}$. Quina és l'alçària de l'arbre?

Exercici 4

Siguin $A$, $B$ i $C$ els tres vèrtexs d'un triangle equilàter de costat $3\;\text{cm}$ i $P$ el punt del costat $AB$ que és a $1\;\text{cm}$ del vèrtex $A$. Quina és la longitud del segment $CP$?

Exercici 5

Calculeu l'àrea del triangle $ABC$ representat en l'esquema següent:

Exercici 6

Les agulles d'un rellotge de paret fan $10$ i $12$ centímetres, respectivament.

1. Quina és la distància entre els seus extrems quan el rellotge assenyala les quatre?

   Solució:

   $d \approx \text{19,0788}\;\text{cm}$

2. Quina és la superfície del triangle que determinen a aquesta hora?

   Solució:

   $A \approx \text{51,9615}\;\text{cm}^2$

Exercici 7

Es vol mesurar l'amplada d'un riu. A una distància de $25\;\text{m}$ d'una de les ribes hi ha una torre de telecomunicacions de $35\;\text{m}$ d'alçària. Pugem dalt de la torre i observem l'angle que formen les visuals que van cap a una riba i cap a l'altra, que és de $20^{\circ}$.

Exercici 8

Sobre una circumferència de radi $1\;\text{m}$ i centre en el punt $O$ considerem els cinc vèrtexs $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ d'un pentàgon regular (és a dir, amb els cinc costats de la mateixa longitud) com el del dibuix següent:

on hem dibuixat també els costats $AB$, $BC$, $CD$, $DE$ i $EA$; les diagonals $AC$, $BD$, $CE$, $DA$ i $EB$; i els radis que acaben en cada un dels vèrtexs $OA$, $OB$, $OC$, $OD$ i $OE$).

Calculeu:

1. L'angle que formen el radi que acaba en el vèrtex $A$ amb el costat $AB$ i l'angle que formen en el vèrtex $A$ els dos costats que el tenen com a extrem (és a dir, l'angle $A$ entre els costats $EA$ i $AB$).

   Solució:

   $\angle OAB = 54^{\circ}$ y $\angle EAB = 108^{\circ}$

2. La longitud de cada un dels costats del pentàgon.

   Solució:

   $\displaystyle \overline{AB} = \frac{\sin 72^{\circ}}{\sin 54^{\circ}} \approx \text{1,1756 m}$

3. La longitud de qualsevol de les diagonals (per exemple la $EB$).

   Solució:

   $\displaystyle \overline{EB} = 2 \sin 72^{\circ} \approx \text{1,9021 m}$

4. L'àrea del triangle $EAB$.

   Solució:

   $\displaystyle A = \sin 72^{\circ} \cdot (1-\cos 72^{\circ}) \approx \text{0,6572 m}^2$

Exercici 9

Us situeu en un punt d'un terreny horitzontal i l'angle que forma la visual dirigida al punt més alt d'un arbre amb l'horitzontal és de $60^{\circ}$. Quin serà l'angle que formarà amb l'horitzontal la visual dirigida al punt més alt de l'arbre si us n'allunyeu a una distància triple de la que éreu abans?

Exercici 10

Els costats d'un triangle són de longituds 8 cm, 11 cm i 13 cm. Calculeu el valor del sinus de l'angle més petit.

Exercici 11

D'un paral·lelogram sabem que el costat més llarg mesura $\text{20 cm}$, que la seva àrea és de $\text{120 cm}^2$ i que l'angle més petit val $30^{\circ}$.

Determineu:

1. El valor de l'altre angle del paral·lelogram (el més gran).

   Solució:

   $150^{\circ}$

2. La longitud del costat petit.

   Solució:

   $\text{12 cm}$

3. El que mesura la diagonal més llarga.

   Solució:

   $\displaystyle \sqrt{544+240\sqrt{3}}\approx\text{30,9789 cm}$

Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-CompartirIgual 3.0 de Creative Commons