Reducció al primer quadrant
|
|
|
Angles complementaris
| |
\(\displaystyle\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha\)
| |
\(\displaystyle\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha\)
| |
\(\displaystyle\tan\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\frac{1}{\tan\alpha}\)
|
|
Angles que difereixen en \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\)
| |
\(\displaystyle\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos\alpha\)
| |
\(\displaystyle\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha\)
| |
\(\displaystyle\tan\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\frac{1}{\tan\alpha}\)
|
|
Angles suplementaris
| |
\(\displaystyle\sin\left(\pi-\alpha\right)=\sin\alpha\)
| |
\(\displaystyle\cos\left(\pi-\alpha\right)=-\cos\alpha\)
| |
\(\displaystyle\tan\left(\pi-\alpha\right)=-\tan\alpha\)
|
|
Angles que difereixen en \(\pi\)
| |
\(\displaystyle\sin\left(\pi+\alpha\right)=-\sin\alpha\)
| |
\(\displaystyle\cos\left(\pi+\alpha\right)=-\cos\alpha\)
| |
\(\displaystyle\tan\left(\pi+\alpha\right)=\tan\alpha\)
|
|
Angles que sumen \(\displaystyle\frac{3\pi}{2}\)
| |
\(\displaystyle\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\cos\alpha\)
| |
\(\displaystyle\cos\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\sin\alpha\)
| |
\(\displaystyle\tan\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=\frac{1}{\tan\alpha}\)
|
|
Angles que difereixen en \(\displaystyle\frac{3\pi}{2}\)
| |
\(\displaystyle\sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-\cos\alpha\)
| |
\(\displaystyle\cos\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=\sin\alpha\)
| |
\(\displaystyle\tan\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-\frac{1}{\tan\alpha}\)
|
|
Angles conjugats
| |
\(\displaystyle\sin\left(2\pi-\alpha\right)=-\sin\alpha\)
| |
\(\displaystyle\cos\left(2\pi-\alpha\right)=\cos\alpha\)
| |
\(\displaystyle\tan\left(2\pi-\alpha\right)=-\tan\alpha\)
|
|
|
Exemple:
Volem relacionar les raons trigonomètriques de \(110^{\circ}\) amb les d'un angle del primer quadrant. El seu suplementari és un angle del primer quadrant:
\(180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}\)
I les relacions entre les seves raons trigonomètriques són:
\(\displaystyle
\begin{array}{l}
\sin 110^{\circ} = \sin 70^{\circ} \\[8pt]
\cos 110^{\circ} = -\cos 70^{\circ} \\[8pt]
\tan 110^{\circ} = -\tan 70^{\circ} \\[8pt]
\end{array}
\)
Exemple:
Volem relacionar les raons trigonomètriques de \(255^{\circ}\) amb les d'un angle del primer quadrant. És un angle del tercer quadrant, per tant \(255^{\circ}-180^{\circ}\) és un angle del primer quadrant:
\(255^{\circ}-180^{\circ}=75^{\circ}\)
I les relacions entre les seves raons trigonomètriques són:
\(\displaystyle
\begin{array}{l}
\sin 255^{\circ} = -\sin 75^{\circ} \\[8pt]
\cos 255^{\circ} = -\cos 75^{\circ} \\[8pt]
\tan 255^{\circ} = \tan 75^{\circ} \\[8pt]
\end{array}
\)
Exercici 11:
Relaciona les raons trigonomètriques de \(130^{\circ}\) amb les d'un angle del primer quadrant.
Solució:
\(\displaystyle
\begin{array}{l}
\sin 130^{\circ} = \sin 50^{\circ} \\[8pt]
\cos 130^{\circ} = -\cos 50^{\circ} \\[8pt]
\tan 130^{\circ} = -\tan 50^{\circ} \\[8pt]
\end{array}
\)
Exercici 12:
Relaciona les raons trigonomètriques de \(282^{\circ}\) amb les d'un angle del primer quadrant.
Solució:
\(\displaystyle
\begin{array}{l}
\sin 282^{\circ} = -\sin 78^{\circ} \\[8pt]
\cos 282^{\circ} = \cos 78^{\circ} \\[8pt]
\tan 282^{\circ} = -\tan 78^{\circ} \\[8pt]
\end{array}
\)
Exercici 13:
Relaciona les raons trigonomètriques de \(2016^{\circ}\) amb les d'un angle del primer quadrant.
Solució:
\(\displaystyle
\begin{array}{l}
\sin 2016^{\circ} = -\sin 36^{\circ} \\[8pt]
\cos 2016^{\circ} = -\cos 36^{\circ} \\[8pt]
\tan 2016^{\circ} = \tan 36^{\circ} \\[8pt]
\end{array}
\)
Exercici 14:
Relaciona les raons trigonomètriques de \(122^{\circ}\) amb les d'un angle més petit que \(45^{\circ}\).
Solució:
\(\displaystyle
\begin{array}{l}
\sin 122^{\circ} = \cos 32^{\circ} \\[8pt]
\cos 122^{\circ} = -\cos 32^{\circ} \\[8pt]
\displaystyle \tan 122^{\circ} = -\frac{1}{\tan 32^{\circ}} \\[8pt]
\end{array}
\)
Exercici 15:
D'un angle \(\beta\) sabem que:
- \(0^{\circ} \le \beta \lt 360^{\circ} \)
- \(\sin\beta=\sin60^{\circ}\)
- \(\cos\beta=-\cos60^{\circ}\)
| a) A quin quadrant pertany l'angle \(\beta\)? |
Solució: |
Al segon quadrant |
| b) Quan mesura \(\beta\)? |
Solució: |
\(\beta=120^{\circ}\) |