Per a definir les raons trigonomètriques d'un angle qualsevol, es fa servir una circumferència de radi \(1\mathrm{\;u.l.}\) i centrada a l'origen de coordenades \((0,0)\) anomenada circumferència goniomètrica o circumferència trigonomètrica. A cada punt d'aquesta circumferència li correspon un angle \(\alpha\) comprés entre \(0^\circ\) i \(360^\circ\) o, equivalentment, entre \(0\) i \(2\pi \mathrm{\;rad}\). Per conveni els angles es mesuren en sentit contrari al de les agulles del rellotge, \(\LARGE{\circlearrowleft}\), i l'origen d'angles està situat al punt \((1,0)\). D'aquesta manera les coordenades \(x\) i \(y\) d'aquest punt es definiran com el cosinus i el sinus de l'angle \(\alpha\).
Quan l'angle \(\alpha\) és agut, tenint en compte que la hipotenusa mesura \(1\), aquesta definició és equivalent a la de l'apartat anterior.
|
Veure el sinus i el cosinus d'un angle agut Veure el sinus i el cosinus d'un angle qualsevol |
|
\( \displaystyle \bbox[15px,border:1px solid]{ \begin{array}{ll} x=\cos\alpha & \quad\quad -1\le\cos\alpha\le1 \\[6pt] y=\sin\alpha & \quad\quad -1\le\sin\alpha\le1 \end{array} } \) |
Les altres raons trigonomètriques es defineixen a partir del sinus i el cosinus:
\(\displaystyle \begin{array}{lll} \tan\alpha&=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} & \quad\quad & \cot\alpha&=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \\[10pt] \csc\alpha&=\dfrac{1}{\sin\alpha} & \quad\quad & \sec\alpha&=\dfrac{1}{\cos\alpha} \end{array} \)
Amb aquesta nova definició el sinus i el cosinus d'un angle prenen valors entre \(-1\) i \(1\) i la tangent d'una angle pot ser ualsevol nombre real.
\(\displaystyle \begin{array}{l} \sin\alpha \in \left[ -1,1 \right] \\[10pt] \cos\alpha \in \left[ -1,1 \right] \\[10pt] \tan\alpha \in \mathbb{R} \end{array} \)
Exercici 7:
Fes servir la circumferència goniomètrica per deduir el sinus i el cosinus dels angles \(0^{\circ}\), \(90^{\circ}\), \(180^{\circ}\), \(270^{\circ}\) i \(360^{\circ}\)
Solució:Exercici 8:
Quin és el signe del sinus, el cosinus i la tangent d'un angle del quart quadrant?
Solució:Exercici 9:
En quin quadrant es pot trobar un angle \(\alpha\) si verifica que \(\sin\alpha=-\text{0,7}\)?
Solució:Per a angles aguts, les coordenades \(x\) i \(y\) corresponen a un punt del primer quadrant i són les longituds dels catets d'un triangle rectangle, la hipotenusa del qual té una longitud d'\(1\). Pel teorema de Pitàgores satisfan l'equació:
\( x^2+y^2=1\).
Donat que \( (-x)^2=x^2\) per a tot \(x\), i que \( (-y)^2=y^2\) per a tot \(y\), l'equació anterior es compleix per a qualsevol punt \((x, y)\) de la circumferència, no només pels punts del primer quadrant. S'anomena identitat trigonomètrica fonamental:
\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)
Exercici 10:
Un angle del segon quadrant verifica que \(\sin\alpha=\text{0,6}\). Quin és el valor del seu cosinus i de la seva tangent?
Solució:|
Triangles de costats \(\sin\alpha\), \(\cos\alpha\) i \(1\): 1r triangle 2r triangleTriangles de costats \(\tan\alpha\), \(\sec\alpha\) i \(1\): 3r triangle 4t triangle 5è triangleTriangles de costats \(\cot\alpha\), \(\csc\alpha\) i \(1\): 6è triangle 7è triangle 8è triangle |