Es defineix angle com la regió del pla compresa entre dues semirectes amb un origen comú. Les semirectes s'anomenen costats de l'angle i l'origen comú s'anomena vèrtex.
A tot angle es pot assignar una magnitud escalar que quantifiqui la rotació al voltant del vèrtex que ha de descriure una de les semirectes fins a coincidir amb l'altra. Aquest nombre pot tenir un signe associat al sentit de la rotació. Si la rotació es fa en sentit antihorari, l'angle es considera positiu, i si la rotació és en sentit horari, l'angle es considera negatiu. A més, al assimilar els angles a rotacions es pot estendre la definició d'angle per tal que tinguin sentit angles superiors a una volta.
Hi ha dues maneres de mesurar un angle. La primera manera compara la rotació associada a l'angle amb una unitat 'natural' que és una volta sencera. Exemples d'unitats associades a aquesta manera de mesurar angles són els següents:
Les voltes o revolucions. Es fan servir per exemple per mesurar velocitats angulars (revolucions per minut).
El grau sexagesimal, de símbol \(^\circ\), es defineix com una 360a part d'una volta. Un grau es subdivideix en 60 minuts d'arc, de símbol \('\), i aquests es subdivideixen en 60 segons d'arc, de símbol \(''\). A partir d'aquí les subdivisions ja són decimals.
\(1^\circ = 60' \quad\quad\quad 1' = 60''\)
El grau centesimal, de símbol \(^\text{g}\), és defineix com una 400a part d'una volta o el que és el mateix una centèsima part d'un angle recte. Un grau centesimal es subdivideix en 100 minuts centesimals, de símbol \(^\text{m}\), i aquests es subdivideixen en 100 segons centesimals, de símbol \(^\text{s}\).
\(1^\text{g} = 100^\text{m} \quad\quad\quad 1^\text{m} = 100^\text{s}\)
Exemple:
Expressa en graus sexagesimals i en graus centesimals el resultat de dividir un angle recte en 64 parts iguals.
\(\displaystyle \frac{90^{\circ}}{64} = \text{1,40625}^{\circ} = 1^{\circ} \, 24' \, \text{22,5}'' \)
\(\displaystyle \frac{100^\text{g}}{64} = \text{1,5625}^\text{g} = 1^\text{g} \, 56^\text{m} \, 25^\text{s} \)
La segona manera de mesurar angles compara la longitud d'un arc central associat a l'angle amb el radi d'aquest arc.
\(\displaystyle\alpha=\frac{L}{r}\).
La unitat 'natural' associada a aquesta definició és un angle que, col·locat com a angle central d'una circumferència, comprèn un arc que mesura el mateix que el radi. Aquest angle s'anomena radian i el seu símbol és rad.
El radian és una unitat derivada del Sistema Internacional, i és una unitat adimensional degut a que es defineix com una raó entre dues longituds. Per tant no cal explicitar un símbol d'unitat i moltes vegades el símbol rad s'omet.
Exemple:
En una circumferència de \(60\) cm de radi, un arc fa \(\text{1,95}\) m. Troba el seu angle central corresponent en radians.
\(\displaystyle \alpha=\frac{L}{r}=\frac{195\,\text{cm}}{60\,\text{cm}} = \text{3,25 rad} \)
L'angle corresponent a una circumferència sencera és igual a:
\(\displaystyle\alpha=\frac{L}{r}=\frac{2 \pi \bcancel{r}}{\bcancel{r}}=2 \pi \;\text{rad}\)
Això permet establir equivalències entre radians i graus fent servir que:
\( 2\pi \;\text{rad} = 360^{\circ}\).
O equivalentment
\(\pi \;\text{rad} = 180^{\circ}\).
Per exemple, dividint entre \(\pi\) s'obté el valor en graus d'un radian
\(\displaystyle 1 \;\text{rad} = \frac{360^{\circ}}{2\pi} \approx 57.2958 \ldots^{\circ}\).
Exemple:
a) Convertiu a radians \(84^{\circ}\):
\(\displaystyle 84^{\circ} \cdot \frac{\pi \;\text{rad}}{180^{\circ}} \approx 1.46607\ldots\;\text{rad} \)
b) Convertiu a graus sexagesimals \(1.6\;\text{rad}\):
\(\displaystyle 1.6\;\text{rad} \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi \;\text{rad}} \approx 91.67324\ldots^{\circ} \)
Exemple:
Convertiu a radians de manera exacta \(54^{\circ}\):
\(\displaystyle 54^{\circ} \cdot \frac{\pi \;\text{rad}}{180^{\circ}} = \frac{3\pi}{10} \;\text{rad} \)