Exercicis de polinomis VI
Exercici 1
Simplifica les següents fraccions algebraiques:
| a) \(\displaystyle \frac{x^3-4x^2-3x+18}{x^3+x^2-8x-12}\) |
Solució: |
\( \displaystyle \frac{x-3}{x+2} \)
|
| b) \(\displaystyle \frac{x^4-8x^2-9}{x^4-3x^2-4}\) |
Solució: |
\( \displaystyle \frac{x^2-9}{x^2-4} \)
|
| c) \(\displaystyle \frac{x^3+6x^2+12x+8}{x^4+8x^3+24x^2+32x+16}\) |
Solució: |
\( \displaystyle \frac{1}{x+2} \)
|
Exercici 2
Calcula i simplifica al màxim:
\(\displaystyle \frac{x-3}{x^2-3x+2}-\frac{x+5}{x^2+x-2} \)
Solució:
\(\displaystyle \frac{-4}{x^2-4} \)
Exercici 3
Calcula i simplifica al màxim:
\(\displaystyle \frac{1}{x+1}+\frac{1}{\left( x+1 \right)^2}+\frac{1}{\left( x+1 \right)^3} \)
Solució:
\(\displaystyle \frac{x^2+3x+3}{x^3+3x^2+3x+1} \)
Exercici 4
Calcula i simplifica al màxim:
\(\displaystyle\frac{x^3+x}{x^2-8x+16}\cdot\left(\frac{3x^2+x-1}{x^2+1}-3\right)\)
Solució:
\(\displaystyle \frac{x}{x-4} \)
Exercici 5
Resol l'equació:
\(\displaystyle \frac{x}{x^2-2x+1} - \frac{1}{x-1} = 2 - \frac{1}{1-x} \)
Solució:
\(\displaystyle x_1=0 \; \text{,} \quad x_2=\frac{3}{2} \)
Exercici 6
Resol l'equació:
\(\displaystyle 1 - \frac{1}{x+4} = \frac{4}{x+1} - \frac{9}{x^2+5x+4} \)
Solució:
\(\displaystyle x_1=-2 \; \text{,} \quad x_2=2 \)
Exercici 7
Resol l'equació:
\(\displaystyle \frac{2}{x^2-5x+6} - \frac{3}{x-2} = 1 + \frac{2}{x-3} \)
Solució:
\(\displaystyle
\begin{align}
\frac{2}{x^2-5x+6}-\frac{3}{x-2}=1+\frac{2}{x-3}
&\quad\Rightarrow\quad \frac{2}{(x-2)(x-3)} - \frac{3}{x-2} = 1 + \frac{2}{x-3} \\[15pt]
&\quad\Rightarrow\quad \frac{2-3(x-3)}{\cancel{(x-2)(x-3)}} = \frac{(x-2)(x-3)+2(x-2)}{\cancel{(x-2)(x-3)}} \\[15pt]
&\quad\Rightarrow\quad 2-3x+9 = x^2-5x+6+2x-4 \\[15pt]
&\quad\Rightarrow\quad 0 = x^2-9 \\[15pt]
&\quad\Rightarrow\quad x= \pm 3 \\[15pt]
\end{align}
\)
En aquest cas una de les solucions, \(x=3\), no és acceptable, ja que genera denominadors nuls en l'equació inicial. Per tant:
\(\boxed{x=-3}\)