Exercicis de polinomis IV
Exercici 1
Calcula \(k\) perquè el polinomi \(p(x)=3x^4-7x^3+kx-6\) sigui divisible per \(x-3\).
Solució:
\(
\displaystyle
\begin{array}{r|rrrrr}
& 3& -7& 0& k& -6 \, \\
3& & 9& 6& 18& 3k+54 \, \\\hline
& 3& 2& 6& k+18& \begin{array}{|r}3k+48\\\hline\end{array}
\end{array}
\)
\(\displaystyle 3k+48 \quad \Rightarrow \quad \boxed{k=-16} \)
Exercici 2
Indiqueu, sense fer la divisió, si el polinomi \(A(x)=2x^3-3x^2+6\) és divisible per \(x+2\).
Solució:
\(\displaystyle A(-2)=0 \quad \Rightarrow \quad A(x)\) és divisible per \(x+2\).
Exercici 3
Esbrina si \(x=3\) és una arrel del polinomi \(P(x) = x^3−2x^2−9\).
Solució:
\(\displaystyle P(-1)=3^3-2\cdot 3^2-9=0\quad\Rightarrow\quad x=3 \) és una arrel de \(P(x)\).
Exercici 4
Comproveu si algun dels números \(-1\), \(0\), \(1\) i \(2\) és una arrel del polinomi \(B(x)=2x^3-2x^2-4x\).
Solució:
\(\displaystyle
\begin{align}
&B(-1) = 2 \cdot (-1)^3-2 \cdot (-1)^2-4 \cdot (-1) = 0 \\
&B(0) = 2 \cdot 0^3-2 \cdot 0^2-4 \cdot 0 = 0 \\
&B(1) = 2 \cdot 1^3-2 \cdot 1^2-4 \cdot 1 = -4 \\
&B(2) = 2 \cdot 2^3-2 \cdot 2^2-4 \cdot 2 = 0
\end{align}
\)
\(-1\), \(0\), i \(2\) són arrels de \(B(x)\).
Exercici 5
Determina les arrels reals dels següents polinomis:
| a) \(\displaystyle \left( 2x^2-32 \right) \cdot \left( 5x-15 \right)\) |
Solució: |
\(x_1=4\), \(x_2=-4\) i \(x_3=3\)
|
| b) \(\displaystyle \left( x^2+4 \right) \cdot \left( \frac{3x}{4}-1 \right)\) |
Solució: |
\(\displaystyle x=\frac{4}{3}\)
|
| c) \(\displaystyle \left( x^2-5 \right) \cdot \left( x^2-3 \right)\) |
Solució: |
\(x_1=\sqrt{5}\), \(x_2=-\sqrt{5}\), \(x_3=\sqrt{3}\) i \(x_4=-\sqrt{3}\)
|
Exercici 6
Determina les arrels reals dels següents polinomis:
| a) \( x^4-7x^2+10\) |
Solució: |
\(x_1=\sqrt{5}\), \(x_2=-\sqrt{5}\), \(x_3=\sqrt{2}\) i \(x_4=-\sqrt{2}\)
|
| b) \( x^{10}-6x^9+8x^8 \) |
Solució: |
\(x_1=0\), \(x_2=2\) i \(x_3=4\)
|
| c) \( x^6-2x^3-15\) |
Solució: |
\(x_1=\sqrt[3]{5}\) i \(x_2=\sqrt[3]{3}\)
|
Exercici 7
Determina les arrels enteres dels següents polinomis:
| a) \( x^5+3x^4-13x^3-11x^2+24x+20 \) |
Solució: |
\(x_1=-1\), \(x_2=2\), \(x_3=-5\)
|
| b) \( x^4-2x^3-13x^2+14x+24 \) |
Solució: |
\(x_1=-1\), \(x_2=2\), \(x_3=-3\) i \(x_4=4\)
|
| c) \( x^6-6x^5+15x^4-20x^3+15x^2-6x+1 \) |
Solució: |
\(x=1\)
|
Exercici 8
Determina les arrels racionals dels següents polinomis:
| a) \(\displaystyle 36x^3-9x^2-16x+4 \) |
Solució: |
\(\displaystyle x_1=\frac{1}{4}\), \(\displaystyle x_2=\frac{2}{3}\), \(\displaystyle x_3=-\frac{2}{3}\)
|
| b) \(\displaystyle 12x^4+17x^3+18x^2+17x+6 \) |
Solució: |
\(\displaystyle x_1=-\frac{2}{3}\), \(\displaystyle x_2=-\frac{3}{4}\)
|
| c) \(\displaystyle 8x^3+12x^2+6x+1 \) |
Solució: |
\(\displaystyle x_1=-\frac{2}{3}\), \(\displaystyle x_2=-\frac{3}{4}\)
|
Exercici 9
Calculeu el valor de \(a\) perquè el polinomi \(P(x)=x^3+3x^2+ax+4\) tingui com a arrel els nombre \(-2\).
Solució:
Exercici 10
Calculeu el valor de \(a\) i \(b\) perquè el polinomi \(Q(x)=x^3+ax^2+bx+4\) tingui com a arrels el nombres \(2\) i \(3\).
Solució:
\(a=-4 \quad\quad\quad\quad b=1\)