Exercicis de polinomis II
Exercici 1
Calcula, simplificant prèviament, els següents coeficients binomials:
| a) \(\displaystyle \binom{12}{3} \) |
Solució: |
\(\displaystyle \binom{12}{3}=\frac{12!}{3!·9!}=\frac{12·11·10·\bcancel{9!}}{3·2·1·\bcancel{9!}}=220\)
|
| b) \(\displaystyle \binom{60}{2} \) |
Solució: |
\(\displaystyle \binom{60}{2}=\frac{60!}{2!·58!}=\frac{60·59·\bcancel{58!}}{2·1·\bcancel{58!}}=1770\)
|
| c) \(\displaystyle \binom{16}{4} \) |
Solució: |
\(\displaystyle \binom{16}{4}=\frac{16!}{4!·12!}=\frac{16·15·14·13·\bcancel{12!}}{4·3·2·1·\bcancel{12!}}=1820\)
|
Exercici 2
Resol la següent equació:
\(\displaystyle \binom{x}{2} = 136\)
Solució:
\(\displaystyle
\begin{align}
\binom{x}{2} = 136
&\Rightarrow \frac{x!}{2!\cdot(x-2)!} = 136 \\[5pt]
&\Rightarrow \frac{x\cdot(x-1)\cdot\bcancel{(x-2)!}}{2!\cdot\bcancel{(x-2)!}} = 136 \\[5pt]
&\Rightarrow x^2-x-272=0 \\[5pt]
&\Rightarrow \left\lbrace \begin{array}{l} x=17 \\ \cancel{x=-16} \end{array} \right.
\end{align}
\)
Exercici 3
Resol la següent equació:
\(\displaystyle \binom{x}{x-2}+\binom{x}{x-1} = 105\)
Solució:
\(\displaystyle
\begin{align}
\displaystyle \binom{x}{x-2}+\binom{x}{x-1} = 105
&\Rightarrow \displaystyle \binom{x}{2}+\binom{x}{1} = 105 \\[5pt]
&\Rightarrow \frac{x\cdot(x-1)\cdot\bcancel{(x-2)!}}{2!\cdot\bcancel{(x-2)!}} +
\frac{x\cdot\bcancel{(x-1)!}}{1!\cdot\bcancel{(x-1)!}} = 105 \\[5pt]
&\Rightarrow x^2+x-210=0 \\[5pt]
&\Rightarrow \left\lbrace \begin{array}{l} x=14 \\ \cancel{x=-15} \end{array} \right.
\end{align}
\)
Exercici 4
Resol la següent equació:
\(\displaystyle \binom{x}{3} = 35\)
Solució:
\(\displaystyle
\begin{align}
\displaystyle \binom{x}{3} = 35
&\Rightarrow \frac{x\cdot(x-1)\cdot(x-2)\cdot\bcancel{(x-3)!}}{3!\cdot\bcancel{(x-3)!}} = 35 \\[5pt]
&\Rightarrow x \cdot (x^2-3x+2) = 35 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \\[5pt]
&\Rightarrow x^3-3x^2+2x-210 = 0 \\[5pt]
&\Rightarrow x=7
\end{align}
\)
La solució \(x=7\) és l'única solució real de l'equació de tercer grau i s'ha obtingut fent servir el mètode de Ruffini.
\(\displaystyle
\begin{array}{r|rrrr}
&1&-3& 2&-210 \\
7& & 7&28& 210 \\\hline
&1& 4&30& |\;\;\;\;\; 0
\end{array}
\)
Exercici 5
Desenvolupa les potències següents fent servir la fórmula del binomi de Newton.
| a) \(\displaystyle \big( 2x+3y \big)^3 \) |
Solució: |
\(\displaystyle 8x^3+36x^2y+54xy^2+27y^3 \)
|
| b) \(\displaystyle \left( 6x-\frac{1}{2} \right)^3 \) |
Solució: |
\(\displaystyle 216x^3-54x^2+\frac{9}{2}x-\frac{1}{8} \)
|
| c) \(\displaystyle \left( x-3 \right)^6 \) |
Solució: |
\(\displaystyle x^6-18x^5+135x^4-540x^3+1215x^2-1458x+729 \)
|
Exercici 6
Calcula el terme de grau quart del desenvolupament de \(\displaystyle \left( 3x-5 \right)^{14}\)
Solució:
\(\displaystyle +791806640625x^4 \)
Exercici 7
Calcula el terme de vuitè grau del desenvolupament de \(\displaystyle \left( 2x^3-5y \right)^4 \)
Solució:
\(\displaystyle +600x^6y^2 \)
Exercici 8
Desenvolupa les potències següents fent servir la fórmula del binomi de Newton.
| a) \(\displaystyle \big( x+2 \big)^4 \) |
Solució: |
\(\displaystyle x^4+8x^3+24x^2+32x+16 \)
|
| b) \(\displaystyle \big( x-2 \big)^4 \) |
Solució: |
\(\displaystyle x^4-8x^3+24x^2-32x+16 \)
|
| c) \(\displaystyle \big( -x+2 \big)^4 \) |
Solució: |
\(\displaystyle x^4-8x^3+24x^2-32x+16 \)
|
| d) \(\displaystyle \big( -x-2 \big)^4 \) |
Solució: |
\(\displaystyle x^4+8x^3+24x^2+32x+16 \)
|
Exercici 9
Desenvolupa les potències següents fent servir la fórmula del binomi de Newton.
| a) \(\displaystyle \big( x+2 \big)^3 \) |
Solució: |
\(\displaystyle x^3+6x^2+12x+8 \)
|
| b) \(\displaystyle \big( x-2 \big)^3 \) |
Solució: |
\(\displaystyle x^3-6x^2+12x-8 \)
|
| c) \(\displaystyle \big( -x+2 \big)^3 \) |
Solució: |
\(\displaystyle -x^3+6x^2-12x+8 \)
|
| d) \(\displaystyle \big( -x-2 \big)^3 \) |
Solució: |
\(\displaystyle -x^3-6x^2-12x-8 \)
|