Una fracció algebraica es una expressió de la forma:
\(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\), amb \(Q(x)\ne0\)
on \(P(x)\) i \(Q(x)\) són polinomis.
Les fraccions algebraiques es poden simplificar descomponent els polinomis numerador i denominador i eliminant factors comuns.
Exemple
Volem simplificar la fracció algebraica \( \displaystyle \frac{x^2-4}{x^2+2x}\). Primer factoritzem el numerador i el denominador, i després eliminem factors comuns.
\( \displaystyle \frac{x^2-4}{x^2+2x} = \frac{\cancel{(x+2)}\cdot(x-2)}{x\cdot\cancel{(x+2)}} = \frac{x-2}{x}\)
Exercici 38
Simplifica la fracció algebraica \( \displaystyle \frac{x^4-8x^2-9}{x^5-6x^3-6x^2-7x-6} \).
Solució:Les operacions amb fraccions algebraiques s'efectuen d'una manera molt similar a les operacions amb fraccions numèriques.
Suma o resta
Per sumar o restar dues fraccions algebraiques s'han d'escriure primer amb un comú denominador. És molt convenient que aquest denominador sigui el mínim comú múltiple dels denominadors.
Exemple
\( \displaystyle \begin{align} \frac{2x+1}{x^2-4}+\frac{5}{x^2+2x} &=\frac{2x+1}{(x+2)(x-2)}+\frac{5}{x(x+2)}\\[8pt] &=\frac{x(2x+1)}{x(x+2)(x-2)}+\frac{5(x-2)}{x(x+2)(x-2)}\\[8pt] &=\frac{x(2x+1)+5(x-2)}{x(x+2)(x-2)}\\[8pt] &=\frac{2x^2+x+5x-10}{x(x+2)(x-2)}\\[8pt] &=\frac{2x^2+6x-10}{x(x+2)(x-2)}\\[8pt] \end{align} \)
Multiplicació
La multiplicació amb fraccions algebraiques es fa igual que amb fraccions numèriques.
\(\displaystyle\frac{p(x)}{q(x)} \cdot \frac{r(x)}{s(x)} = \frac{p(x) \cdot r(x)}{q(x) \cdot s(x)}\)
És convenient, però, factoritzar tots els polinomis i intentar simplificar-los abans de multiplicar.
Exemple
\( \displaystyle \begin{align} \frac{x^2-5x+6}{x^2-9} \cdot \frac{x^2+4x+3}{x^2-4} &= \frac{(x-2)(x-3)}{(x+3)(x-3)} \cdot \frac{(x+1)(x+3)}{(x+2)(x-2)} \\[6pt] &= \frac{\bcancel{(x-2)}\bcancel{(x-3)}}{\bcancel{(x+3)}\bcancel{(x-3)}} \cdot \frac{(x+1)\bcancel{(x+3)}}{(x+2)\bcancel{(x-2)}} \\[6pt] &= \frac{x+1}{x+2} \end{align} \)
Divisió
La divisió amb fraccions algebraiques es fa igual que amb fraccions numèriques.
\(\displaystyle\frac{p(x)}{q(x)} : \frac{r(x)}{s(x)} = \frac{p(x) \cdot s(x)}{q(x) \cdot r(x)}\)
És convenient, però, factoritzar tots els polinomis i intentar simplificar-los abans de multiplicar-los.
Exemple
\( \displaystyle \begin{align} \frac{x^2+5x}{x^2-16} : \frac{x^3-25x}{x^2-6x+8} &= \frac{x(x+5)}{(x+4)(x-4)} : \frac{x(x+5)(x-5)}{(x-2)(x-4)} \\[6pt] &= \frac{\bcancel{x}\bcancel{(x+5)}(x-2)\bcancel{(x-4)}}{(x+4)\bcancel{(x-4)}\bcancel{x}\bcancel{(x+5)}(x-5)} \\[6pt] &= \frac{x-2}{(x+4)(x-5)} \\[6pt] &= \frac{x-2}{x^2-x-20} \\[6pt] \end{align} \)
Exercici 39
Efectua la següent operació
\(\displaystyle \frac{2}{x^2-x} - \frac{x}{x^2-1} + \frac{x+2}{x^2+x} \)
Simplifica la fracció algebraica resultant, si és possible.
Solució:Exercici 40
Efectua la següent operació
\(\displaystyle \frac{x^2+2x+1}{x^2-x} \cdot \frac{x^2-2x+1}{x^2-1} \)
Simplifica la fracció algebraica resultant, si és possible.
Solució: