Es diu que un nombre real \(a\) és una arrel d'un polinomi \(P(x)\) si \(P(a)=0\)
\( P(a)=0 \Leftrightarrow a \) és una arrel de \(P(x)\)
Determinar les arrels d'un polinomi \(P(x)\) és equivalent a resoldre l'equació \(P(x) = 0\).
Exemple
Donat el polinomi \( P(x) = x^5 - 4x^3 + 2x^2 - 8 \),
el nombre \(0\) no és una arrel de \(P(x)\), degut a:
\(P(0) = 0^5 - 4\cdot0^3 + 2\cdot0^2 - 8 = -8 \ne 0\)
el nombre \(1\) no és una arrel de \(P(x)\), degut a:
\(P(1) = 1^5 - 4\cdot1^3 + 2\cdot1^2 - 8 = -9 \ne 0\)
el nombre \(2\) sí és una arrel de \(P(x)\), degut a:
\(P(2) = 2^5 - 4\cdot2^3 + 2\cdot2^2 - 8 = 0\)
Exemple
Volem trobar les arrels del polinomi \( P(x) = x^2-5x+6 \). Per fer-ho igualem el polinomi a \(0\) i resolem l'equació.
\( x^2-5x+6=0 \quad \Rightarrow \quad x=\dfrac{5 \pm \sqrt{5^2-4\cdot1\cdot6}}{2\cdot1} \quad \Rightarrow \quad \left\lbrace\begin{array}{l} x=2 \\[8pt] x=3 \end{array}\right. \)
Les arrels són \(x=2\) i \(x=3\).
Exercici 31
Troba les arrels dels següents polinomis:
| a) | \( P(x) = 3x-84 \) | Solució: | |
| b) | \( Q(x) = x^2-169 \) | Solució: | |
| c) | \( R(x) = x^2+5x-10 \) | Solució: | |
| d) | \( S(x) = x^3+512 \) | Solució: |
Moltes vegades és convenient escriure un polinomi com un producte de polinomis de grau més petit. Aquest procés s'anomena factorització. Si el polinomi es pot factoritzar es diu que és reductible, en cas contrari és irreductible.
Es poden fer servir diverses estratègies per factoritzar un polinomi:
Extreure factor comú
Si un polinomi no té terme independent, aleshores traient factor comú es pot descompondre en producte de dos factors. Per exemple el polinomi \(P(x)=6x^5-3x^4+12x^3\) es pot escriure com:
\(P(x) = 6x^5-3x^4+12x^3 = 3x^3 \cdot (2x^2-x+4)\),
és a dir, com el producte d'un polinomi de grau \(3\) per un de grau \(2\).
Identificar igualtats notables
De vegades es poden fer servir les identitats notables per factoritzar un polinomi. Alguns trinomis es poden expressar com a quadrat d'un binomi. Per exemple el polinomi \(Q(x)=x^4-12x^3+36x^2\) es pot escriure com una resta al quadrat:
\(Q(x) = x^4-12x^3+36x^2 = \left( x^2-6x \right)^2 \)
També una resta de quadrats es pot escriure com a una suma per diferència. Per exemple, el polinomi \(R(x)=25x^6-4x^2\) es pot escriure com:
\(R(x) = 25x^6-4x^2 = \left(5x^3+2x\right)\cdot\left(5x^3-2x\right) \)
Resoldre equacions de segon grau
Si el polinomi és de segon grau, aleshores podem trobar les seves arrels resolent l'equació de segon grau associada i fer servir per escriure la factorització.
Si l'equació de segon grau té dues solucions reals diferents \(x_1\) i \(x_2\), aleshores la factorització és:
\(ax^2+bx+c = a \cdot \left( x-x_1 \right) \cdot \left( x-x_2 \right)\)
Si l'equació de segon grau té una única solució real \(x_1\), aleshores la factorització és
\(ax^2+bx+c = a \cdot \left( x-x_1 \right)^2\)
I si l'equació de segon grau no té solució reals, aleshores el polinomi és irreductible.
Exercici 34
Factoritza els següents polinomis:
| a) | \( A(x) = 5x^7-60x^6 \) | Solució: | |
| b) | \( B(x) = 3x^2-15x+18 \) | Solució: | |
| c) | \( C(x) = x^4-16x^2 \) | Solució: | |
| d) | \( D(x) = x^4-16 \) | Solució: | |
| e) | \( E(x) = x^2+10x+16 \) | Solució: | |
| f) | \( F(x) = 2x^2+20x+50 \) | Solució: |
Determinar arrels del polinomi
Una conseqüència del teorema del residu és que si un polinomi \(P(x)\) de grau \(n\) té una arrel \(a\), aleshores és divisible per \(x-a\) i el podem escriure com el producte de \(x-a\) pel quocient \(Q(x)\), que és un polinomi de grau \(n-1\)
\(P(a)=0 \quad \Rightarrow \quad P(x)= (x-a) \cdot Q(x)\)
Aquest fet relaciona la cerca d'arrels d'un polinomi amb la seva factorització.
Propietat
Si un polinomi amb coeficients enters té una arrel entera, aleshores aquesta és un divisor del seu terme independent.
Exemple
Volem factoritzar el polinomi \(P(x) = x^3+x^2-4x-4\). És un polinomi amb coeficients enters, per tant els únics candidats a ser una arrel entera són els divisors del terme independent:
\(\mathrm{Div}(-4) = \left\lbrace \pm1, \pm2, \pm4 \right\rbrace\)
Comencem provant amb el \(1\).
\( \displaystyle \begin{array}{r|rrrrr} & 1 & 1 & -4 & -4 \, \\ 1 & & 1 & 2 & -2 \,\\\hline & 1 & 2 & -2 & \begin{array}{|r} -6 \\\hline\end{array} \end{array} \)
El residu no és nul. Per tant \(1\) no és una arrel de \(P(x)\) i \(x-1\) no és un divisor de \(P(x)\). Provem ara amb el nombre \(-1\).
\( \displaystyle \begin{array}{r|rrrrr} & 1 & 1 & -4 & -4 \, \\ -1 & & -1 & 0 & 4 \,\\\hline & 1 & 0 & -4 & \begin{array}{|r} \;0 \\\hline\end{array} \end{array} \)
En aquest cas el \(-1\) sí que és una arrel de \(P(x)\). Aleshores podem escriure:
\(P(x) = x^3+x^2-4x-4 = (x+1) \cdot \left( x^2-4 \right)\)
El polinomi quocient resultant es pot factoritzar fàcilment, és una resta de quadrats, i per tant:
\(P(x) = (x+1) \cdot \left( x^2-4 \right) = (x+1) \cdot (x-2) \cdot (x+2) \)
Hem aconseguit escriure aquest polinomi de grau \(3\) com un producte de \(3\) polinomis de grau \(1\).
Exemple
Volem factoritzar el polinomi \(P(x) = x^4-4x^3-x^2+16x-12 \). És un polinomi amb coeficients enters, per tant els únics candidats a ser una arrel entera són els divisors del terme independent:
\(D(-12) = \left\lbrace \pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12 \right\rbrace\)
Comencem provant amb el nombre \(1\).
\( \displaystyle \begin{array}{r|rrrrr} & 1 & -4 & -1 & 16 &-12 \, \\ 1 & & 1 & -3 & -4 & 12 \,\\\hline & 1 & -3 & -4 & 12 & \begin{array}{|r} \;\;0 \hskip -0.2em \\\hline\end{array} \end{array} \)
El nombre \(1\) és una arrel de \(P(x)\). Per tant podem escriure:
\(P(x) = x^4-4x^3-x^2+16x-12 = (x-1) \cdot \left( x^3-3x^2-4x-12 \right)\)
En aquest exemple el quocient és un polinomi de grau \(3\). Per factoritzar-lo hem de tornar a aplicar la regla de Ruffini. De fet podem continuar aplicant Ruffini fins arribar a un polinomi de grau \(0\), és a dir, un nombre real.
\( \displaystyle \begin{array}{r|rrrrr} & 1 & -4 & -1 & 16 &-12 \\ 1 & & 1 & -3 & -4 & 12 \\\hline & 1 & -3 & -4 & 12 & \begin{array}{|r} \;\;0 \hskip -0.2em \\\hline\end{array} \\ 2 & & 2 & -2 &-12 \\\hline & 1 & -1 & -6 & \begin{array}{|r}\;\; 0 \hskip -0.2em \\\hline\end{array} \\ -2 & & -2 & 6 \\\hline & 1 & -3 & \begin{array}{|r}\;\; 0 \hskip -0.2em \\\hline\end{array} \\ 3 & & 3 \\\hline & 1 & \begin{array}{|r}\;\; 0 \hskip -0.2em \\\hline\end{array} \\ \end{array} \)
La factorització és
\(P(x) = (x-1) \cdot ( x-2 ) \cdot ( x+2 ) \cdot ( x-3 )\)