Siguin dos polinomis \(D(x)\) i \(d(x)\), tals que el grau de \(D(x)\) sigui més gran que el grau de \(d(x)\). Efectuar la divisió \(D(x):d(x)\) consisteix a trobar dos polinomis \(Q(x)\) i \(R(x)\) que verifiquin:
Els polinomis reben el mateix nom que a les divisions amb nombres:
| \(D(x) \; \) | és el polinomi dividend, |
| \(d(x) \; \) | és el polinomi divisor, |
| \(Q(x) \; \) | és el polinomi quocient i |
| \(R(x) \; \) | és el polinomi residu. |
Exemple
Volem fer la divisió dels polinomis \(D(x)=2x^4+5x^3-7x+1\) i \(d(x)=x^3+2x^2-2\). El grau del polinomi quocient \(Q(x)\) és igual a la resta dels graus dels polinomis \(D(x)\) i \(d(x)\), és a dir \(\mathrm{grau}\big(Q(x)\big) = 1 \), i per tant podem escriure:
\( Q(x) = ax+b \)
El grau del polinomi residu \(R(x)\) ha de ser inferior al grau del polinomi divisor. L'escrivim com un polinomi de grau \(2\).
\( R(x) = cx^2+dx+e \)
S'ha de verificar que:
\(D(x) = Q(x) \cdot R(x) + d(x)\),
per tant:
\( \begin{align} 2x^4+5x^3-7x+1 &= \big( ax+b \big) \cdot \big( x^3+2x^2-2 \big) + \big( cx^2+dx+e \big) \\[8pt] &= ax^4 + 2ax^3 -2ax + bx^3 + 2bx^2 -2b + cx^2+dx+e \\[8pt] &= ax^4 + \big( 2a+b \big)x^3 + \big( 2b+c \big)x^2 + \big( -2a+d \big)x +\big( -2b+e \big) \\[8pt] \end{align} \)
Igualant els coeficients dels dos polinomis de grau \(4\):
\(\begin{array}{lcccl} \mathsf{Coeficients\;de\;grau\;4} && &\rightarrow&a=2 \\[8pt] \mathsf{Coeficients\;de\;grau\;3} &\rightarrow& 2a+b=5 &\rightarrow& b=1 \\[8pt] \mathsf{Coeficients\;de\;grau\;2} &\rightarrow& 2b+c=0 &\rightarrow& c=-2 \\[8pt] \mathsf{Coeficients\;de\;grau\;1} &\rightarrow& -2a+d=-7 &\rightarrow& d=-3 \\[8pt] \mathsf{Coeficients\;de\;grau\;0} &\rightarrow& -2b+e=1 &\rightarrow& e=3 \\[8pt] \end{array}\)
Aleshores el polinomis quocient i residu són:
\(Q(x)=2x+1\)
\(R(x)=-2x^2-3x+3\)
Exercici 20
Fes servir el mètode anterior per realitzar la divisió \( (x^3 + 3 x^2 - 3 x - 4):(x^2 + 2 x - 2) \). Indica clarament el quocient \(Q(x)\) i el residu \(R(x)\).
Solució:Exercici 21
Fes servir el mètode anterior per realitzar la divisió \( (x^4 - 2 x^3 + 3 x^2 + x - 2):(x^2 + 2) \). Indica clarament el quocient \(Q(x)\) i el residu \(R(x)\).
Solució:La divisió de polinomis també es pot fer col·locant els polinomis com si es tractés d’una divisió entre nombres naturals de més d’una xifra.
\( \begin{array}{ll} D(x) \quad & \begin{array}{|l}d(x)\quad \quad \\\hline\end{array}\\ \quad R(x) & Q(x) \end{array} \quad \quad \quad \quad \quad \begin{array}{ll} \mathsf{Dividend} \quad & \begin{array}{|l}\mathsf{divisor}\quad \quad \\\hline\end{array}\\ \quad \mathsf{Residu} & \mathsf{Quocient} \end{array} \)
Exemple
Volem fer la divisió del polinomi \(D(x)=2x^5-3x^4+2x^3+6x-1\) entre \(d(x)=x^2-2x+2\), amb aquest mètode.
| \(\phantom{} 2 x^{5}\) | \(\phantom{}- 3 x^{4}\) | \(\phantom{}+ 2 x^{3}\) | \(\ldots\) | \(\phantom{}+ 6 x\) | \(\phantom{}-1\) | \(x^{2}- 2 x+ 2 \) |
| \(\phantom{}- 2 x^{5}\) | \(\phantom{}+ 4 x^{4}\) | \(\phantom{}- 4 x^{3}\) | ||||
| \(\ldots\) | \(\phantom{}+x^{4}\) | \(\phantom{}- 2 x^{3}\) | \(\ldots\) | |||
| \(\phantom{}-x^{4}\) | \(\phantom{}+ 2 x^{3}\) | \(\phantom{}- 2 x^{2}\) | ||||
| \(\ldots\) | \(\ldots\) | \(\phantom{}- 2 x^{2}\) | \(\phantom{}+ 6 x\) | \(\phantom{}-1\) | ||
| \(\phantom{} 2 x^{2}\) | \(\phantom{}- 4 x\) | \(\phantom{}+ 4 \) | ||||
| \(\ldots\) | \(\phantom{}+ 2 x\) | \(\phantom{}+ 3 \) |
|
Col·loquem el dividend i el divisor en el seu lloc, amb els seus monomis ordenats de major a menor grau. Deixem un forat al lloc on aniria el monomi de grau \(2\) del dividend. |
|
Exercici 22
Efectua la següent divisió \( (x^3+2x^2-3x+5):(x^2-2x-1) \). Indica clarament el quocient \(Q(x)\) i el residu \(R(x)\).
Solució:Exercici 23
Efectua la següent divisió \( (2x^3-5x^2+8x+4):(2x+1) \). Indica clarament el quocient \(Q(x)\) i el residu \(R(x)\).
Solució: