Productes i potències de polinomis

Producte de polinomis

La multiplicació de dos polinomis és un altre polinomi que s'obté multiplicant cada terme d'un factor amb cadascun dels termes de l'altre i agrupant els termes resultants del mateix grau. És a dir, s'ha d'aplicar la doble propietat distributiva. El grau del producte és igual a la suma dels graus dels factors.

La multiplicació de polinomis es pot fer en una línia o col·locant en columnes els termes dels factors i els productes parcials per fer-ne la suma al final, d'una manera semblant a com es col·loquen les xifres dels nombres naturals per fer-ne la multiplicació.

Exemple:

Siguin els polinomis \(A(x)=x^3+2x^2-5\) i \(B(x)=x^2-3x+2\). Si volem calcular \(A(x)-B(x)\), el que farem és:

\( \begin{array}{rrrrrr} & & x^3&+2x^2& & -5\\ &\times& & x^2& -3x& +2\\\hline & & 2x^3&+4x^2& &-10\\ &-3x^4 &-6x^3& &+15x& \\ x^5&+2x^4 & &-5x^2& & \\\hline x^5& -x^4 &-4x^3& -x^2&+15x&-10 \end{array} \)

També es pot fer la multiplicació en una línia:

\( \begin{align} A(x)·B(x) &=(x^3+2x^2-5)·(x^2-3x+2) \\ &=x^3·(x^2-3x+2)+2x^2·(x^2-3x+2)-5·(x^2-3x+2) \\ &=x^5-3x^4+2x^3+2x^4-6x^3+4x^2-5x^2+15x-10 \\ &=x^5-x^4-4x^3-x^2+15x-10 \end{align} \)

Exercici 5:

Siguin els polinomis:

\( \begin{align} A(x)&=x^3+6x^2-2x+4\\ B(x)&=2x^3-3x^2+3 \end{align} \)

Calcula \(A(x)·B(x)\).

Solució:

Propietats de la multiplicació de polinomis

La multiplicació de polinomis compleix les següents propietats:

Exercici 6:

Siguin els polinomis:

\( \begin{align} A(x)&=x^2+4x+4\\ B(x)&=x^3-3x+3\\ C(x)&=-x^3+4x-1 \end{align} \)

Calcula \(A(x)·B(x)+A(x)·C(x)\).

Solució:

Potenciació d'un polinomi

La potenciació d'un polinomi es pot fer sempre que l'exponent sigui un nombre natural o zero. Només cal aplicar la definició de potència amb exponent natural:

\(\displaystyle \Big(P(x)\Big)^n = \underbrace{P(x) \cdot P(x) \cdot \ldots \cdot P(x)}_{n \text{ vegades}}\)

o la definició de potència amb exponent zero:

\(\displaystyle \Big(P(x)\Big)^0 = 1\)

Exercici 7:

Calcula:

a) \( \Big(x^2+2x-3\Big)^2 \) Solució:
b) \(\Big(2x+\sqrt{2}\Big)^3\) Solució:

Exercici 8:

Siguin els polinomis:

\( \begin{align} A(x)&=-3x^6-8x^4+32\\ B(x)&=5x^9-12x^6+3x^4-7x\\ C(x)&=-x^3+-x^2+8x \end{align} \)

Indica quin és el grau dels polinomis següents:

a) \( \Big( A(x) \Big)^7 \) Solució:
b) \(A(x)·B(x)·C(x)\) Solució: