La multiplicació de dos polinomis és un altre polinomi que s'obté multiplicant cada terme d'un factor amb cadascun dels termes de l'altre i agrupant els termes resultants del mateix grau. És a dir, s'ha d'aplicar la doble propietat distributiva. El grau del producte és igual a la suma dels graus dels factors.
La multiplicació de polinomis es pot fer en una línia o col·locant en columnes els termes dels factors i els productes parcials per fer-ne la suma al final, d'una manera semblant a com es col·loquen les xifres dels nombres naturals per fer-ne la multiplicació.
Exemple:
Siguin els polinomis \(A(x)=x^3+2x^2-5\) i \(B(x)=x^2-3x+2\). Si volem calcular \(A(x)-B(x)\), el que farem és:
\( \begin{array}{rrrrrr} & & x^3&+2x^2& & -5\\ &\times& & x^2& -3x& +2\\\hline & & 2x^3&+4x^2& &-10\\ &-3x^4 &-6x^3& &+15x& \\ x^5&+2x^4 & &-5x^2& & \\\hline x^5& -x^4 &-4x^3& -x^2&+15x&-10 \end{array} \)
També es pot fer la multiplicació en una línia:
\( \begin{align} A(x)·B(x) &=(x^3+2x^2-5)·(x^2-3x+2) \\ &=x^3·(x^2-3x+2)+2x^2·(x^2-3x+2)-5·(x^2-3x+2) \\ &=x^5-3x^4+2x^3+2x^4-6x^3+4x^2-5x^2+15x-10 \\ &=x^5-x^4-4x^3-x^2+15x-10 \end{align} \)
Exercici 5:
Siguin els polinomis:
\( \begin{align} A(x)&=x^3+6x^2-2x+4\\ B(x)&=2x^3-3x^2+3 \end{align} \)
Calcula \(A(x)·B(x)\).
Solució:La multiplicació de polinomis compleix les següents propietats:
Commutativa:
\(A(x)·B(x)=B(x)·A(x)\)
Associativa:
\(A(x)·\Big[B(x)·C(x)\Big]=\Big[A(x)·B(x)\Big]·C(x)\)
Existència d'un element neutre: El polinomi de grau zero, \(P(x)=1\) és l'element neutre de la multiplicació de polinomis. Multiplicat amb qualsevol polinomi és igual al mateix polinomi:
\(A(x)·1=A(x)\)
Distributiva respecte a la suma:
\(A(x)·\Big[B(x)+C(x)\Big]=A(x)·B(x)+A(x)·C(x)\)
Exercici 6:
Siguin els polinomis:
\( \begin{align} A(x)&=x^2+4x+4\\ B(x)&=x^3-3x+3\\ C(x)&=-x^3+4x-1 \end{align} \)
Calcula \(A(x)·B(x)+A(x)·C(x)\).
Solució:La potenciació d'un polinomi es pot fer sempre que l'exponent sigui un nombre natural o zero. Només cal aplicar la definició de potència amb exponent natural:
\(\displaystyle \Big(P(x)\Big)^n = \underbrace{P(x) \cdot P(x) \cdot \ldots \cdot P(x)}_{n \text{ vegades}}\)
o la definició de potència amb exponent zero:
\(\displaystyle \Big(P(x)\Big)^0 = 1\)