La suma de dos polinomis és un altre polinomi que es troba sumant els termes del mateix grau dels dos polinomis. El grau de la suma és com a màxim el major dels graus dels dos sumands.
Exemples:
Siguin els polinomis \(A(x)=x^4+3x^2-2x+5\) i \(B(x)=2x^3+x^2+7x-8\), aleshores:
\( \begin{align} A(x)+B(x) &= x^4+3x^2-2x+5+2x^3+x^2+7x-8 \\ &= x^4+2x^3+4x^2+5x-3 \end{align} \)
En aquest cas els graus dels polinomis són:
\( \text{gr}A(x)=4 \\ \text{gr}B(x)=3 \\ \text{gr}\Big(A(x)+B(x)\Big)=4 \)
Siguin els polinomis \(C(x)=x^3-2x^2+x+1\) i \(D(x)=-x^3+2x^2+3x+4\), aleshores:
\( \begin{align} C(x)+D(x) &= x^3-2x^2+x+1-x^3+2x^2+3x+4 \\ &= 4x+5 \end{align} \)
En aquest cas els graus dels polinomis són:
\( \text{gr}C(x)=3 \\ \text{gr}D(x)=3 \\ \text{gr}\Big(C(x)+D(x)\Big)=1 \)
Els polinomis es poden col·locar un a dalt de l'altre de manera que els termes del mateix grau siguin a la mateixa columna i deixant llocs buits si falta algun terme.
Exemple:
Siguin els polinomis \(P(x)=2x^4-5x^3+2x^2+3\) i \(Q(x)=-x^3+3x-8\), aleshores:
\( \begin{array}{rcrrrrr} P(x) &= &2x^4 &-5x^3 &+2x^2 & &+3 \\ Q(x) &= & & -x^3 & &+3x &-8 \\\hline P(x)+Q(x) &= &2x^4 &-6x^3 &+2x^2 &+3x &-5 \end{array} \)
La suma de polinomis compleix les següents propietats:
Commutativa:
\(A(x)+B(x)=B(x)+A(x)\)
Associativa:
\(A(x)+\Big[B(x)+C(x)\Big]=\Big[A(x)+B(x)\Big]+C(x)\)
Existència d'un element neutre: El polinomi de grau indefinit en què tots els coeficients són nuls, \(P(x)=0\), s'anomena polinomi nul o polinomi zero i és l'element neutre de la suma de polinomis. Sumat amb qualsevol polinomi és igual al mateix polinomi:
\(A(x)+0=A(x)\)
Existència d'un element simètric: L'element simètric d'un polinomi \(A(x)\) respecte a la suma és el polinomi oposat, que s'expressa \(-A(x)\) i s'obté fent l'oposat de tots els seus coeficients. La suma d'un polinomi amb el seu oposat és igual al polinomi nul.
\(A(x)+\Big[-A(x)\Big]=0\)
Restar dos polinomis és equivalent a sumar el minuend i l'oposat del subtrahend.
\(A(x)-B(x)=A(x)+\Big[-B(x)\Big]\)
Exemple:
Siguin els polinomis \(A(x)=x^4-3x^3+x^2-5\) i \(B(x)=x^3-2x^2-4x+2\). Si volem calcular \(A(x)-B(x)\), el que farem és:
\( \begin{array}{rcrrrrr} A(x) &= & x^4 &-3x^3 & +x^2 & &-5 \\ -B(x) &= & & -x^3 &+2x^2 &+4x &-2 \\\hline A(x)-B(x) &= & x^4 &-4x^3 &+3x^2 &+4x &-7 \end{array} \)
Exercici 4:
Siguin els polinomis:
\( \begin{align} A(x)&=2x^4-x^3+7x-1\\ B(x)&=x^3+6x^2-2x+4\\ C(x)&=3x^3-3x^2+3 \end{align} \)
Calcula \(A(x)-B(x)+C(x)\).
Solució: