Un monomi és una expressió algebraica formada pel producte d'un coeficient numèric real i una part literal. La part literal està formada pel producte d'una o vàries variables indeterminades que poden estar elevades a exponents enters no negatius.
El grau d’un monomi és el nombre de factors de la seva part literal. En el cas particular que el monomi no tingui variables es diu que té grau zero, excepte si el coeficient és zero que llavors es diu que el grau està indefinit.
Exemples:
Monomis semblants són els que tenen la mateixa part literal.
Suma (o resta) de monomis: Només es poden sumar els monomis semblants. El resultat és altre monomi semblant que s'obté sumant els coeficients i deixant la mateixa part literal. Per exemple:
\(3 \hskip 0.1em x^2y+2 \hskip 0.1em x^2y-8 \hskip 0.1em x^2y=-3 \hskip 0.1em x^2y\)
Producte de monomis: Es pot multiplicar qualsevol parell de monomis i el resultat és altre monomi que s'obté multiplicant els coeficients i agrupant les variables repetides sumant els seus exponents. Per exemple:
\(\left(-5 \hskip 0.1em x^3yz\right)·\left(4 \hskip 0.1em x^2y^2\right)=-20 \hskip 0.1em x^5y^3z\)
Quocient de monomis: Es pot dividir qualsevol parell de monomis. Es divideixen els coeficients i s'agrupen les variables repetides restant els seus exponents. Per exemple:
\(\displaystyle\frac{18 \hskip 0.1em x^4y^3z}{3 \hskip 0.1em x^2y^3}=6 \hskip 0.1em x^2z\)
De vegades el resultat d'un quocient de dos monomis no és un monomi. Exemple:
\(\displaystyle\frac{15 \hskip 0.1em x^2y^3}{5 \hskip 0.1em xy^4}=3xy^{-1}=3\frac{x}{y}\)
Exercici 1
Calcula el resultat de les següents operacions amb monomis.
| a) | \(5 \hskip 0.1em x^2z - 3 \hskip 0.1em x^2z + 2 \hskip 0.1em x^2y\) | Solució: | |
| b) | \(\displaystyle\left(\frac{\sqrt{2}}{3}x^3y^2\right)·\left(\frac{\sqrt{2}}{2}y^3z^2\right)·\left(\frac{3}{4}y^2z\right)\) | Solució: | |
| c) | \( 7 \hskip 0.1em x^4y^3 \,+\, 3 \hskip 0.1em x^2y \hskip 0.1em \cdot \hskip 0.1em 2 \hskip 0.1em x^2y^2 \) | Solució: | |
| d) | \(\displaystyle\frac{6 \hskip 0.1em x^5y^2z}{9 \hskip 0.1em x^2y}\) | Solució: | |
| e) | \(\displaystyle\frac{9 \hskip 0.1em x^2y}{6 \hskip 0.1em xy^2z}\) | Solució: |
Un polinomi és una expressió algebraica formada per la suma de diversos monomis, cadascun dels quals s'anomena terme. Els casos particulars de polinomis amb només dos termes es poden anomenar binomis, i els de tres, trinomis.
El grau d'un polinomi coincideix amb el major grau de tots els termes no nuls que el formen. Si tots els termes del polinomi tenen coeficients zero, llavors el grau del polinomi no és zero, sinó que és indefinit.
Exemples:
El terme de grau zero d'un polinomi s'anomena terme independent.
Un polinomi de grau \(n\) d'una variable \(x\) és una expressió algebraica de la forma:
\( a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + ... + a_1x + a_0 \),
o abreviadament:
\( \displaystyle \sum_{i=0}^n a_ix^i \)
amb les següents condicions:
El coeficient del terme de grau zero, \(a_0\), s'anomena terme independent o terme constant. El coeficient del terme de major grau, \(a_n\), és el coeficient dominant. Si és igual a \(1\) el polinomi s'anomena mònic o normalitzat.
Exemples
Per anomenar un polinomi es fa servir una lletra i entre parèntesis el nom de la variable indeterminada. Els seus termes s'escriuen habitualment ordenats de major a menor grau. Per exemple:
\(P(x)=5x^3-2x^2+5\)
\(A(x)=\sqrt{3}x^4-5x^3+2x+3\)
El valor numèric d'un polinomi \(P(x)\) per a un valor de la variable \(x=a\), s'escriu \(P(a)\) i és el nombre que resulta de substituir la variable \(x\) pel nombre \(a\).
Exemple
El valor numèric del polinomi \(P(x)=3x^4-3x^3+6\) quan \(x=-2\) és igual a:
\(P(-2)=3·(-2)^4-3·(-2)^3+6=78\)