Exercicis de límits. Límits de funcions irracionals
Exercici 1
Calcula el límit de la funció \(\displaystyle f(x)=\frac{x-\sqrt{2x+3}}{x^2-9}\) quan \(x\) tendeix a \(3\).
Solució:
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 3}{\frac{x-\sqrt{2x+3}}{x^2-9}}=\frac{0}{0}\)
En \(x=3\) la funció no està definida i el límit presenta una indeterminació \(\displaystyle\frac{0}{0}\). Hem de multiplicar i dividir per l'expressió \(x+\sqrt{2x+3}\) i després factoritzar els polinomis de segon grau.
\(
\displaystyle
\begin{align}
\lim_{x\rightarrow 3}{\frac{x-\sqrt{2x+3}}{x^2-9}}
& = \lim_{x\rightarrow 3}{\frac{
\left( x-\sqrt{2x+3} \right) · \left( x+\sqrt{2x+3} \right)
}{
\left( x^2-9 \right) · \left( x+\sqrt{2x+3} \right)
}} \\[12pt]
& = \lim_{x\rightarrow 3}{\frac{
x^2 - \left( 2x+3 \right)
}{
\left( x^2-9 \right) · \left( x+\sqrt{2x+3} \right)
}} \\[12pt]
& = \lim_{x\rightarrow 3}{\frac{
x^2 - 2x - 3
}{
\left( x^2-9 \right) · \left( x+\sqrt{2x+3} \right)
}} \\[12pt]
& = \lim_{x\rightarrow 3}{\frac{
\left( x+1 \right) · \cancel{\left( x-3 \right)}
}{
\left( x+3 \right) · \cancel{\left( x-3 \right)} · \left( x+\sqrt{2x+3} \right)
}} \\[12pt]
& = \lim_{x\rightarrow 3}{\frac{
x+1
}{
\left( x+3 \right) · \left( x+\sqrt{2x+3} \right)
}} \\[12pt]
& = \frac{4}{6·6} \\[12pt]
& = \frac{1}{9}
\end{align}
\)
Exercici 2
Calcula el límit de la funció \(\displaystyle f(x)=\frac{x-\sqrt{3x-2}}{\sqrt{x+2}-2}\) quan \(x\) tendeix a \(2\).
Solució:
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}{\frac{x-\sqrt{3x-2}}{\sqrt{x+2}-2}}=\frac{0}{0}\)
En \(x=2\) la funció no està definida i el límit presenta una indeterminació \(\displaystyle\frac{0}{0}\). Hem de multiplicar i dividir per les expressions conjugades del numerador i per les del denominador i després factoritzar els polinomis resultants.
\(
\displaystyle
\begin{align}
\lim_{x\rightarrow 2}{\frac{x-\sqrt{3x-2}}{\sqrt{x+2}-2}}
& = \lim_{x\rightarrow 2}{\frac{
\left( x-\sqrt{3x-2} \right) · \left( x+\sqrt{3x-2} \right) · \left( \sqrt{x+2}+2 \right)
}{
\left( \sqrt{x+2}-2 \right) · \left( x+\sqrt{3x-2} \right) · \left( \sqrt{x+2}+2 \right)
}} \\[12pt]
& = \lim_{x\rightarrow 2}{\frac{
\left( x^2-3x+2 \right) · \left( \sqrt{x+2}+2 \right)
}{
\left( x-2 \right) · \left( x+\sqrt{3x-2} \right)
}} \\[12pt]
& = \lim_{x\rightarrow 2}{\frac{
\left( x-2 \right) · \left( x-1 \right) · \left( \sqrt{x+2}+2 \right)
}{
\left( x-2 \right) · \left( x+\sqrt{3x-2} \right)
}} \\[12pt]
& = \lim_{x\rightarrow 2}{\frac{
\left( x-1 \right) · \left( \sqrt{x+2}+2 \right)
}{
x+\sqrt{3x-2}
}} \\[12pt]
& = \frac{1·4}{4} \\[12pt]
& = 1
\end{align}
\)
Exercici 3
Calcula els següents límits:
| a) \(\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - 2x - 8}{x - \sqrt{5 x - 4}} \) |
Solució: |
\(\displaystyle 16 \)
|
| b) \(\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x - \sqrt{5x + 6}}{\sqrt{4x + 1} - x}\) |
Solució: |
\( -2 \)
|
| c) \(\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{2 x - \sqrt{3 x + 1}}{\sqrt{x + 3} - 2}\) |
Solució: |
\( 5 \)
|