Exercicis de límits. Límits de funcions racionals

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 3}{\frac{x^3-2x^2-5x+6}{x^3-3x^2-4x+12}}=\frac{0}{0}\)

En \(x=3\) la funció no està definida i el límit presenta una indeterminació \(\displaystyle\frac{0}{0}\). Hem de fer servir la regla de Ruffini per a factoritzar parcialment el numerador i el denominador de la funció racional.

\(\begin{array}{r|rrrr} &1&-2&-5&6\; \\ 3&&3&3&-6\; \\ \hline &1&1&-2& \begin{array}{|r} \; 0 \\ \hline \end{array} \end{array} \quad\quad\quad\quad \begin{array}{r|rrrr} &1&-3&-4&12\; \\ 3&&3&0&-12\; \\ \hline &1&0&-4& \begin{array}{|r} \;\; 0 \\ \hline \end{array} \end{array}\)

\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 3}{\frac{x^3-2x^2-5x+6}{x^3-3x^2-4x+12}}= \lim_{x\rightarrow 3}{\frac {\cancel{\left(x-3\right)}\left(x^2+x-2\right)} {\cancel{\left(x-3\right)}\left(x^2-4\right)}}= \frac{10}{5}=2 \)

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}{\frac{x^3-x^2-8x+12}{x^3-3x^2+4}}=\frac{0}{0}\)

En \(x=2\) la funció no està definida i el límit presenta una indeterminació \(\displaystyle\frac{0}{0}\). Hem de fer servir la regla de Ruffini per a factoritzar parcialment el numerador i el denominador de la funció racional.

\(\begin{array}{r|rrrr} &1&-1&-8&12\; \\ 2&&2&2&-12\; \\ \hline &1&1&-6& \begin{array}{|r} \;\; 0 \\ \hline \end{array} \end{array} \quad\quad\quad\quad \begin{array}{r|rrrr} &1&-3&0&4\; \\ 2&&2&-2&-4\; \\ \hline &1&-1&-2& \begin{array}{|r} \; 0 \\ \hline \end{array} \end{array}\)

\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 2}{\frac{x^3-x^2-8x+12}{x^3-3x^2+4}}= \lim_{x\rightarrow 2}{\frac {\cancel{\left(x-2\right)}\left(x^2+x-6\right)} {\cancel{\left(x-2\right)}\left(x^2-x-2\right)}}= \frac{0}{0} \)

En aquest cas el límit segueix presentant una indeterminació \(\displaystyle\frac{0}{0}\). Hem de tornar a fer servir la regla de Ruffini.

\(\begin{array}{r|rrrr} &1&-1&-8\;&12\; \\ 2&&2&2\;&-12\; \\ \hline &1&1&-6\;& \begin{array}{|r} \;\; 0 \\ \hline \end{array} \\ 2&&2&6\; \\ \hline &1&3&\begin{array}{|r} \;\; 0 \\ \hline \end{array} \end{array} \quad\quad\quad\quad \begin{array}{r|rrrr} &1&-3&0\;&4\; \\ 2&&2&-2\;&-4\; \\ \hline &1&-1&-2\;& \begin{array}{|r} \; 0 \\ \hline \end{array} \\ 2&&2&2\; \\ \hline &1&1& \begin{array}{|r} \; 0 \\ \hline \end{array} \end{array}\)

\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 2}{\frac{x^3-x^2-8x+12}{x^3-3x^2+4}}= \lim_{x\rightarrow 2}{\frac {\cancel{\left(x-2\right)^2}\left(x+3\right)} {\cancel{\left(x-2\right)^2}\left(x+1\right)}}= \frac{5}{3} \)

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -2}{\frac{x^3-3x+2}{x^3+3x^2-4}}=\frac{0}{0}\)

En \(x=-2\) la funció no està definida i el límit presenta una indeterminació \(\displaystyle\frac{0}{0}\). Hem de fer servir la regla de Ruffini per a factoritzar parcialment el numerador i el denominador de la funció racional.

\(\begin{array}{r|rrrr} &1&0&-3&2\; \\ -2&&-2&4&-2\; \\ \hline &1&-2&1& \begin{array}{|r} \; 0 \\ \hline \end{array} \end{array} \quad\quad\quad\quad \begin{array}{r|rrrr} &1&3&0&-4\; \\ -2&&-2&-2&4\; \\ \hline &1&1&-2& \begin{array}{|r} \; 0 \\ \hline \end{array} \end{array}\)

\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow -2}{\frac{x^3-3x+2}{x^3+3x^2-4}}= \lim_{x\rightarrow -2}{\frac {\cancel{\left(x+2\right)}\left(x^2-2x+1\right)} {\cancel{\left(x+2\right)}\left(x^2+x-2\right)}}= \frac{9}{0}=\infty \)

En aquest cas el límit és infinit. Hem de determinar el signe dels límits laterals, i per això és convenient tornar a fer servir la regla de Ruffini i simplificar la funció al màxim. En el polinomi del numerador haurem de probar arrels diferents de \(-2\).

\(\begin{array}{r|rrrr} &1&0&-3\;&2\; \\ -2&&-2&4\;&-2\; \\ \hline &1&-2&1\;& \begin{array}{|r} \; 0 \\ \hline \end{array} \\ 1&&1&-1\; \\ \hline &1&-1&\begin{array}{|r} \; 0 \\ \hline \end{array} \end{array} \quad\quad\quad\quad \begin{array}{r|rrrr} &1&3&0\;&-4\; \\ -2&&-2&-2\;&4\; \\ \hline &1&1&-2\;& \begin{array}{|r} \; 0 \\ \hline \end{array} \\ -2&&-2&2\; \\ \hline &1&-1& \begin{array}{|r} \; 0 \\ \hline \end{array} \end{array}\)

\( \displaystyle f(x)= \frac {\cancel{\left(x+2\right)}\left(x-1\right)^{\bcancel{2}}} {\left(x+2\right)^{\bcancel{2}}\cancel{\left(x-1\right)}}= \frac{x-1}{x+2} \)

\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow -2^-}{f(x)}= \lim_{x\rightarrow -2^-}{\frac{x-1}{x+2}}= \frac{-3}{0^-}=+\infty \)

\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow -2^+}{f(x)}= \lim_{x\rightarrow -2^+}{\frac{x-1}{x+2}}= \frac{-3}{0^+}=-\infty \)

\( \displaystyle\lim_{x\rightarrow -2^\pm}{f(x)}=\mp\infty \)