Exercicis de successions

Exercici 1

Donada la successió de terme general \(\displaystyle a_n=\frac{n^2-n-1}{n}, \;\forall n\in\Bbb{N}\):

1. Quins són els tres primers elements d'aquesta successió?

   Solució:

   \(\displaystyle a_1=-1,\;a_2=\frac{1}{2},\;a_3=\frac{5}{3}\)

2. Quin es el vuitantè terme?

   Solució:

   \(\displaystyle a_{80}=\frac{6319}{80}\)

Exercici 2

Donada la successió de terme general \(\displaystyle a_n=7n+43, \;\forall n\in\Bbb{N}\):

1. Quin es el vuitè terme?

   Solució:

   \( a_8=99\)

2. Existeix algun terme de la successió que sigui igual a \(200\)?

   Solució:

   No.

3. Existeix algun terme de la successió que sigui igual a \(400\)?

   Solució:

   Sí. El terme \(a_{51}=400\)

4. A partir de quin valor de \(n\) tots els termes de la successió són majors o iguals que \(1\,000\,000\)?

   Solució:

   \(a_{n} \ge 1\,000\,000 ,\;\forall n \ge 142851\)

Exercici 3

Troba els sis primers termes de la successió \(\displaystyle a_n=\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}+1}, \;\forall n \gt 2\) amb \(a_1=1\) i \(a_2=1\):

Solució:

Exercici 4

Quina és l'expressió del terme general en funció de \(n\) de les següents successions?

Exercici 5

Estudia la monotonia de les successions següents i indica si estan fitades

1. \(\displaystyle a_n = 5+\frac{5}{n} \;\; \forall n \in \Bbb{N}\)

   Solució:

   És una successió estrictament decreixent:

   \( a_{n+1} \lt a_n \quad \forall n \in \Bbb{N} \)

   i està fitada superiorment i inferiorment:

   \( 5 \lt a_n \le 10 \quad \forall n \in \Bbb{N} \)

2. \(\displaystyle b_n = 2-2^{-n} \;\; \forall n \in \Bbb{N}\)

   Solució:

   És una successió estrictament creixent:

   \( b_{n+1} \gt b_n \quad \forall n \in \Bbb{N} \)

   i està fitada superiorment i inferiorment:

   \(\displaystyle \frac{3}{2} \le b_n \lt 2 \quad \forall n \in \Bbb{N} \)

3. \(\displaystyle c_n = \left( -\frac{1}{2} \right)^n \;\; \forall n \in \Bbb{N}\)

   Solució:

   No és una successió monòtona i està fitada, inferiorment i superiorment.

   \(\displaystyle -\frac{1}{2} \le c_n \lt \frac{1}{4} \quad \forall n \in \Bbb{N} \)