Una funció és contínua en un punt \(x=a\) si es verifiquen les tres condicions següents:
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)\)
Exemple 6
|
La funció \(f(x)=x^2-3\) és contínua en \(x=2\) \(\displaystyle \begin{align} \lim_{x\rightarrow 2^-}f(x)=1 & \\ \lim_{x\rightarrow 2^+}f(x)=1 & \\ f(2)=1 & \\ \end{align}\) |
|
|
La funció definida a trossos: \(\displaystyle f(x)=\left\lbrace\begin{array}{ccl} 4 & \text{si} & x \lt 2 \\[1em] x-1 & \text{si} & x \ge 2 \end{array}\right. \) és discontínua en \(x=2\) \(\displaystyle \begin{align} \lim_{x\rightarrow 2^-}f(x)=4 & \\ \lim_{x\rightarrow 2^+}f(x)=1 & \\ f(2)=1 & \\ \end{align}\) |
|
|
La funció definida a trossos: \(\displaystyle f(x)=\left\lbrace\begin{array}{ccl} 1 & \text{si} & x \le 0 \\[1em] \frac{1}{x} & \text{si} & x \gt 0 \end{array}\right. \) és discontínua en \(x=0\) \(\displaystyle \begin{align} \lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)&=1 \\ \lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)&=+\infty \\ f(0)&=1 \\ \end{align}\) |
|
|
La funció \(\displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\) és discontínua en \(x=1\) \(\displaystyle \begin{align} \lim_{x\rightarrow 1^-}f(x)=2 & \\ \lim_{x\rightarrow 1^+}f(x)=2 & \\ \nexists f(1) & \\ \end{align}\) |
Una funció és contínua per l'esquerra en un punt \(x=a\) (o semicontínua per l'esquerra) si es verifiquen les tres condicions següents:
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a^-}f(x)=f(a)\)
I, anàlogament, una funció és contínua per la dreta en un punt \(x=a\) (o semicontínua per la dreta) si es verifiquen les tres condicions següents:
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a^+}f(x)=f(a)\)
Exemple 7
De les funcions de l'exemple 6 que presenten una discontinuïtat, hi ha dues que són contínues per un costat.
|
La funció definida a trossos: \(\displaystyle f(x)=\left\lbrace\begin{array}{ccl} 4 & \text{si} & x \lt 2 \\[1em] x-1 & \text{si} & x \ge 2 \end{array}\right. \) és contínua per la dreta en \(x=2\) \(\displaystyle \begin{align} \lim_{x\rightarrow 2^-}f(x)=4 & \\ \lim_{x\rightarrow 2^+}f(x)=1 & \\ f(2)=1 & \\ \end{align}\) |
|
|
La funció definida a trossos: \(\displaystyle f(x)=\left\lbrace\begin{array}{ccl} 1 & \text{si} & x \le 0 \\[1em] \frac{1}{x} & \text{si} & x \gt 0 \end{array}\right. \) és contínua per l'esquerra en \(x=0\) \(\displaystyle \begin{align} \lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)&=1 \\ \lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)&=+\infty \\ f(0)&=1 \\ \end{align}\) |
Una funció és contínua en un interval obert \(\left(a,b\right)\) si ho és en cada un dels seus punts.
Una funció és contínua en un interval tancat \(\left[a,b\right]\) si ho és en tots els punts de l'interval \(\left(a,b\right)\) i, a més, és contínua per la dreta en \(a\) i per l'esquerra en \(b\).
Una funció és contínua o contínua en el seu domini si ho és en cada un dels punts en què està definida.
Exemple 8
La funció \(f(x)=\sqrt{x}\) està definida en \(\left[0,+\infty\right)\). La seva representació gràfica és:
Aquesta funció és contínua en tots els punt de \(\left[0,+\infty\right)\) i a més és contínua per la dreta en \(x=0\). Per tant és una funció contínua.
Una funció \(f(x)\) té una discontinuïtat evitable en un punt \(x=a\) quan existeix el límit de la funció en \(x=a\) i és un nombre real, però no coincideix amb el valor de la funció en \(x=a\), ja sigui perquè \(f(a)\) pren un valor diferent o bé perquè \(f(a)\) no existeix.
Exemple 9
Les següents funcions presenten discontinuïtats evitables en \(x=3\):
|
\(\displaystyle \begin{align} \lim_{x\rightarrow 3^-}f(x)=2 & \\ \lim_{x\rightarrow 3^+}f(x)=2 & \\ \nexists f(3) & \\ \end{align}\) |
|
|
\(\displaystyle \begin{align} \lim_{x\rightarrow 3^-}f(x)=2 & \\ \lim_{x\rightarrow 3^+}f(x)=2 & \\ f(3)=1 & \\ \end{align}\) |
Una funció \(f(x)\) té una discontinuïtat de salt en un punt \(x=a\) quan existeixen els límits laterals de la funció en \(x=a\), però són dos nombres reals diferents. Aquesta definició es independent de si \(f(a)\) existeix o no.
Exemple 10
Les següents funcions presenten discontinuïtats de salt en \(x=3\):
|
\(\displaystyle \begin{align} \lim_{x\rightarrow 3^-}f(x)=1 & \\ \lim_{x\rightarrow 3^+}f(x)=2 & \\ f(3)=2 & \\ \end{align}\) |
|
|
\(\displaystyle \begin{align} \lim_{x\rightarrow 3^-}f(x)=1 & \\ \lim_{x\rightarrow 3^+}f(x)=2 & \\ f(3)=3 & \\ \end{align}\) |
Una funció \(f(x)\) té una discontinuïtat asimptòtica en un punt \(x=a\) si un dels límits laterals, o tos dos, és infinit.
Exemple 11
Les següents funció presenta una discontinuïtat asimptòtica en \(x=2\):
|
\(\displaystyle \begin{align} \lim_{x\rightarrow 2^-}f(x)=-\infty & \\ \lim_{x\rightarrow 2^+}f(x)=+\infty & \\ \nexists f(2) & \\ \end{align}\) |