Sigui \(f(x)\) una funció real de variable real. Es diu que la funció \(f(x)\) tendeix al nombre real \(L\) quan \(x\) tendeix a \(+\infty\), i s'escriu
si es verifica que, per a qualsevol successió \(\left\lbrace x_n \right\rbrace\) de nombres del domini de \(f(x)\) que tendeix a \(+\infty\) la successió de les imatges \(\left\lbrace f(x_n) \right\rbrace\) tendeix a \(L\).
Les definicions quan \(x\) tendeix a \(-\infty\) i quan el límit es infinit són anàlogues.
Si el límit quan \(x\) tendeix a \(-\infty\) o a \(+\infty\) és un nombre real \(b\), aleshores la funció s'aproxima en el infinit a la recta \(y=b\). Aquesta recta s'anomena asímptota horitzontal.
Exemple 5
Anem a calcular el límit de la funció \(\displaystyle f(x)=\frac{x^2+2}{x^2+1}\) quan \(x\) tendeix a \(-\infty\) i a \(+\infty\).
Primer calculem el límit de la funció quan \(x\) tendeix a \(+\infty\) fent servir successions amb nombres del domini de \(f(x)\) que tendeixin a \(+\infty\) i calculant les seves imatges.
\( \displaystyle \begin{array}{c|c} x&f(x)\\ \hline \text{1}&\text{1,5}\\ \text{5}&\approx\text{1,038461}\\ \text{10}&\approx\text{1,009901}\\ \text{50}&\approx\text{1,000400}\\ \text{100}&\approx\text{1,000100}\\ \text{500}&\approx\text{1,000004}\\ \end{array} \quad\Rightarrow\quad \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x) = 1 \)
En aquest cas particular, degut a la simetria de la funció, el límit de la funció quan \(x\) tendeix a \(-\infty\) coincideix exactament amb el límit quan \(x\) tendeix a \(+\infty\).
\( \displaystyle \begin{array}{c|c} x&f(x)\\ \hline -\text{1}&\text{1,5}\\ -\text{5}&\approx\text{1,038461}\\ -\text{10}&\approx\text{1,009901}\\ -\text{50}&\approx\text{1,000400}\\ -\text{100}&\approx\text{1,000100}\\ -\text{500}&\approx\text{1,000004}\\ \end{array} \quad\Rightarrow\quad \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x) = 1 \)
Aquesta funció té una asímptota horitzontal en \(y=1\)
Exercici 4
Donada la funció \(\displaystyle f(x)=e^x\), calcula les següents quantitats:
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\quad\quad\quad\quad \)
Solució:Exercici 5
Donada la funció \(\displaystyle f(x)=\frac{2^x}{x^2}\), calcula les següents quantitats:
Veure la solució:| \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)= \) | \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)= \) | |
| \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)= \) | \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)= \) | \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}f(x)= \) |