Sigui \(f(x)\) una funció real de variable real, i sigui \(a\) un nombre real, no necessàriament del domini de la funció. Es diu que el nombre \(L^-\) és el límit lateral per l'esquerra de la funció \(f(x)\) quan \(x\) tendeix a \(a\), i s'escriu
si es verifica que, per a qualsevol successió \(\left\lbrace x_n \right\rbrace\) de nombres del domini de \(f(x)\) menors que \(a\) que tendeix a \(a\) la successió de les imatges \(\left\lbrace f(x_n) \right\rbrace\) tendeix a \(L^-\).
Anàlogament es diu que el nombre \(L^+\) és el límit lateral per la dreta de la funció \(f(x)\) quan \(x\) tendeix a \(a\), i s'escriu
si es verifica que, per a qualsevol successió \(\left\lbrace x_n \right\rbrace\) de nombres del domini de \(f(x)\) majors que \(a\) que tendeix a \(a\) la successió de les imatges \(\left\lbrace f(x_n) \right\rbrace\) tendeix a \(L^+\).
Si els límits laterals per l'esquerra i per la dreta d'una funció en un punt \(a\) existeixen i tenen el mateix valor \(L\), aleshores es diu que \(L\) és el límit de la funció quan \(x\) tendeix a \(a\).
Exemple 1
Anem a calcular el límit de la funció \(\displaystyle f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}\) quan \(x\) tendeix a \(2\).
La funció no està definida en \(x=2\), però podem fer servir successions amb valors del domini de \(f(x)\) que tendeixin a \(2\) i calcular les seves imatges per intentar deduir el límit. Comencem amb una successió amb valors menors que \(2\):
\( \displaystyle \begin{array}{c|c} x&f(x)\\ \hline \text{1,000}&\text{3,000}\\ \text{1,500}&\text{3,500}\\ \text{1,800}&\text{3,800}\\ \text{1,900}&\text{3,900}\\ \text{1,950}&\text{3,950}\\ \text{1,980}&\text{3,980}\\ \text{1,990}&\text{3,990}\\ \text{1,995}&\text{3,995}\\ \text{1,998}&\text{3,998}\\ \text{1,999}&\text{3,999}\\ \end{array} \quad\Rightarrow\quad \lim_{x\rightarrow 2^-}f(x) = 4 \)
I ara fem el mateix amb una successió amb valors majors que \(2\):
\( \displaystyle \begin{array}{c|c} x&f(x)\\ \hline \text{3,000}&\text{5,000}\\ \text{2,500}&\text{4,500}\\ \text{2,200}&\text{4,200}\\ \text{2,100}&\text{4,100}\\ \text{2,050}&\text{4,050}\\ \text{2,020}&\text{4,020}\\ \text{2,010}&\text{4,010}\\ \text{2,005}&\text{4,005}\\ \text{2,002}&\text{4,002}\\ \text{2,001}&\text{4,001}\\ \end{array} \quad\Rightarrow\quad \lim_{x\rightarrow 2^+}f(x) = 4 \)
En aquest cas els dos límits laterals existeixen i són iguals. Per tant:
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 2}f(x) = 4 \)
Exemple 2
Anem a calcular el límit quan \(x\) tendeix a \(2\) de la funció definida a trossos:
\(\displaystyle f(x)=\left\lbrace\begin{array}{ccl} x^2-3x+4 & \text{si} & x \lt 2 \\[1em] x+1 & \text{si} & x \ge 2 \end{array}\right. \).
Fem servir primer una successió amb valors menors que \(2\):
\( \displaystyle \begin{array}{c|c} x&f(x)\\ \hline \text{1,000}&\text{2,00000}\\ \text{1,500}&\text{1,75000}\\ \text{1,800}&\text{1,84000}\\ \text{1,900}&\text{1,91000}\\ \text{1,950}&\text{1,95250}\\ \text{1,980}&\text{1,98040}\\ \text{1,990}&\text{1,99010}\\ \text{1,995}&\text{1,99503}\\ \text{1,998}&\text{1,99800}\\ \text{1,999}&\text{1,99900}\\ \end{array} \quad\Rightarrow\quad \lim_{x\rightarrow 2^-}f(x) = 2 \)
I ara fem el mateix amb una successió amb valors majors que \(2\):
\( \displaystyle \begin{array}{c|c} x&f(x)\\ \hline \text{3,000}&\text{4,000}\\ \text{2,500}&\text{3,500}\\ \text{2,200}&\text{3,200}\\ \text{2,100}&\text{3,100}\\ \text{2,050}&\text{3,050}\\ \text{2,020}&\text{3,020}\\ \text{2,010}&\text{3,010}\\ \text{2,005}&\text{3,005}\\ \text{2,002}&\text{3,002}\\ \text{2,001}&\text{3,001}\\ \end{array} \quad\Rightarrow\quad \lim_{x\rightarrow 2^+}f(x) = 3 \)
En aquest cas els dos límits laterals no coincideixen. Per tant:
\( \displaystyle \nexists \lim_{x\rightarrow 2}f(x) \)
Exercici 1
Donada la funció definida a trossos:
\(\displaystyle f(x)=\left\lbrace\begin{array}{ccl} x+1 & \text{si} & x \lt 0 \\[1em] x^2-2x & \text{si} & 0 \le x \lt 3 \\[1em] 3 & \text{si} & x \gt 3 \end{array}\right. \),
calcula les següents quantitats:
Veure la solució:| \(\displaystyle f(0)= \) | \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)= \) | \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)= \) | \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}f(x)= \) |
| \(\displaystyle f(2)= \) | \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2^-}f(x)= \) | \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2^+}f(x)= \) | \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2}f(x)= \) |
| \(\displaystyle f(3)= \) | \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 3^-}f(x)= \) | \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 3^+}f(x)= \) | \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 3}f(x)= \) |
Exercici 2
Donada la funció:
\(\displaystyle f(x)=\frac{x^3-6x^2+11x-6}{x-2} \),
calcula les següents quantitats:
Veure la solució:| \(\displaystyle f(0)= \) | \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)= \) | \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)= \) | \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}f(x)= \) |
| \(\displaystyle f(1)= \) | \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^-}f(x)= \) | \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^+}f(x)= \) | \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}f(x)= \) |
| \(\displaystyle f(2)= \) | \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2^-}f(x)= \) | \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2^+}f(x)= \) | \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2}f(x)= \) |