Indeterminacions

Indeterminacions dels tipus \(+\infty-\infty\)

La suma de dos o més infinits de diferent ordre equival al infinit de major ordre. Això permet resoldre la indeterminació si es coneix l'ordre dels dos infinits.

Exemple 1:

  1. \(\displaystyle \lim \left( 6n^3-100n^2 \right) = \lim 6n^3 = +\infty \)

  2. \(\displaystyle \lim \left( 3^n-4^n \right) = \lim \left( -4^n \right) = -\infty \)

  3. \(\displaystyle \lim \left( 7^n-n^7 \right) = \lim 7^n = +\infty \)

Exercici 1:

Calcula els següents límits:

a) \(\displaystyle \lim \left( {n^4-3n^5} \right) \)

 Solució:

b) \(\displaystyle \lim \left( {-5n^3+2n^2} \right) \)

 Solució:

c) \(\displaystyle \lim \left( {5^n-3^n} \right) \)

 Solució:

d) \(\displaystyle \lim \left( {2^n-10^n} \right) \)

 Solució:

e) \(\displaystyle \lim \left( {n^{10}-2^n} \right) \)

 Solució:

f) \(\displaystyle \lim \left( {n^{\frac{4}{5}}-\left(\frac{4}{5}\right) ^n} \right) \)

 Solució:

Indeterminacions dels tipus \(\displaystyle \frac{\infty}{\infty} \)

Primer s'han de despreciar els termes de menor ordre del numerador i del denominador. Després s'ha de simplificar l'expressió resultant.

Exemple 2:

  1. \(\displaystyle \lim \frac{3n^2+5n}{-4n^3+2n} = \lim \frac{3n^2}{-4n^3} = \lim \left( -\frac{3}{4n} \right) = 0 \)

  2. \(\displaystyle \lim \frac{-8n^4+3n}{-2n^2-5n} = \lim \frac{-8n^4}{-2n^2} = \lim 4n^2 = +\infty \)

  3. \(\displaystyle \lim \frac{2n^2+3n^3+4n^4}{16n^4+20n^3} = \lim \frac{4n^4}{16n^4} = \lim \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \)

  4. \(\displaystyle \lim \frac{n^2+8^n}{n^8+2^n} = \lim \frac{8^n}{2^n} = \lim 4^n = +\infty \)

  5. \(\displaystyle \lim \frac{n^5+3^n}{n^{10}+5^n} = \lim \frac{3^n}{5^n} = \lim \left(\frac{3}{5}\right)^n = 0 \)

Exercici 2:

Calcula els següents límits:

a) \(\displaystyle \lim \frac{n^3+2n^2}{3n^2+4n^3} \)

 Solució:

b) \(\displaystyle \lim \frac{\sqrt[3]{n^5}+n}{\sqrt[5]{n^3}+n} \)

 Solució:

c) \(\displaystyle \lim \frac{4^n+8^n}{5^n+4^{2n}} \)

 Solució: