Una successió de terme general \(a_n\) s'anomena convergent si per a valors infinitament grans de la variable independent \(n\) els termes de la successió s'aproximen tant com es vulgui a un nombre real \(A\). Es diu, aleshores, que el límit de la successió \(a_n\) és el nombre \(A\) i es simbolitza de la següent manera:
\(\lim a_n = A\)
Quan la variable \(n\) assoleix valors infinitament grans es diu que \(n\) s'apropa a infinit o que \(n\) tendeix a infinit i es simbolitza \(n \rightarrow +\infty \). De vegades això s'indica en el límit de la següent manera:
\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty} a_n = A\)
Exemple 6:
La successió \( \displaystyle a_n=\frac{3n+12}{n} \) és una successió convergent. Si calculem termes amb valors de \(n\) cada vegada més grans podem veure que s'apropen cada vegada més a és \(3\):
\(\displaystyle \begin{array}{rcl} a_{10}= &\frac{42}{10} &=\text{4,2}\\ a_{100}= &\frac{312}{100} &=\text{3,12}\\ a_{1000}= &\frac{3012}{1000} &=\text{3,012}\\ a_{10000}= &\frac{30012}{10000} &=\text{3,0012} \end{array} \quad\Rightarrow\quad \lim a_n = 3 \)
Exemple 7:
La successió \( \displaystyle b_n=\frac{1}{n} \) és una successió convergent i el seu límit és \(0\).
\(\displaystyle \begin{array}{rcl} b_{10}= &\frac{1}{10} &=\text{0,1} \\ b_{100}= &\frac{1}{100} &=\text{0,01} \\ b_{1000}= &\frac{1}{1000} &=\text{0,001} \\ b_{10000}= &\frac{1}{10000} &=\text{0,0001} \end{array} \quad\Rightarrow\quad \lim b_n = 0 \)
Exercici 8:
Dedueix els límits de les següents successions fent-ne servir termes avançats:
Es diu que el límit d'una successió \(a_n\) és \(+\infty\) si els seus termes superen qualsevol nombre real arbitràriament gran a partir d'un cert valor de \(n\). Es simbolitza de la següent manera:
\(\lim a_n = +\infty \)
I es diu que el límit d'una successió \(a_n\) és \(-\infty\) si els seus termes a partir d'un cert valor de \(n\) són tots negatius i en valor absolut superen qualsevol nombre real arbitràriament gran. Es simbolitza de la següent manera:
\(\lim a_n = -\infty \)
En aquests dos casos es diu que la successió és divergent.
Exemple 8:
La successió \( \displaystyle c_n=n^2-30n \) és una successió divergent i el seu límit és \(+\infty\).
\(\displaystyle \begin{array}{rl} c_{10}= &-200 \\ c_{100}= &+7\,000 \\ c_{1000}= &+970\,000 \\ c_{10000}= &+99\,700\,000 \end{array} \quad\Rightarrow\quad \lim c_n = +\infty \)
Exemple 9:
La successió \( \displaystyle d_n=n^2-n^3 \) és una successió divergent i el seu límit és \(-\infty\).
\(\displaystyle \begin{array}{rl} d_{10}= &-900 \\ d_{100}= &-990\,000 \\ d_{1000}= &-999\,000\,000 \\ d_{10000}= &-999\,900\,000\,000 \end{array} \quad\Rightarrow\quad \lim d_n = +\infty \)
Exercici 9:
Dedueix els límits de les següents successions fent-ne servir termes avançats:
Sigui la successió convergent \(a_n\) amb \(\displaystyle \lim a_n=A\) i sigui \(k\in\Bbb{R}\) un nombre real qualsevol, aleshores:
Siguins les successions convergents \(a_n\) i \(b_n\) amb \(\displaystyle \lim a_n=A\) i \(\displaystyle \lim b_n=B\), aleshores:
De vegades s'han de fer operacions amb límits en què intervé l'infinit, ja sigui com a operand o com a resultat de la operació. A continuació s'enumeren els casos, representats de manera simbòlica, que tenen una solució determinada de manera inmediata.
Suma amb infinits:
| \(k + \infty = +\infty\) | \(k - \infty = -\infty\) |
| \(+\infty + \infty = +\infty\) |
| \(-\infty - \infty = -\infty\) |
Producte per infinits:
| \(k · \infty = \infty\) | \((\)Si \(k \ne 0)\) | El signe es dedueix de la regla dels signes. | \(\infty · \infty = \infty\) | El signe es dedueix de la regla dels signes. |
Quocient amb un infinit:
| \(\displaystyle \frac{k}{\infty} = 0 \) | \(\displaystyle \frac{\infty}{k} = \infty \) | El signe es dedueix de la regla dels signes. |
Divisió entre zero:
| \(\displaystyle \frac{k}{0} = \infty \) | \((\)Si \(k \ne 0)\) | El signe es dedueix de la regla dels signes. |
Potències amb infinits:
| \( k^{+\infty} = \left\lbrace\begin{array}{ccl} +\infty &\text{si} & x \gt 1 \\[1.5em] 0 &\text{si} & 0 \le k \lt 1 \end{array}\right. \) | ||
| \( k^{-\infty} = \left\lbrace\begin{array}{ccl} 0 &\text{si} & k \gt 1 \\[1.5em] +\infty &\text{si} & 0 \le k \lt 1 \end{array}\right. \) | ||
| \( \left(+\infty\right)^k = \left\lbrace\begin{array}{ccl} +\infty &\text{si} & k \gt 0 \\[1.5em] 0 &\text{si} & k \lt 0 \end{array}\right. \) | ||
| \(\left(+\infty\right)^{+\infty}=+\infty \) | ||
| \(\left(+\infty\right)^{-\infty}=0 \) | ||
| \(\sqrt[n]{+\infty}=+\infty \) | ||
| \(\sqrt[n]{-\infty}=-\infty \) | \((\)Si \(n\) és senar\()\) |
Exercici 10:
Calcula els següents límits:
a) \(\displaystyle \lim {n^4} \) |
Solució: | |
b) \(\displaystyle \lim {n^{\frac{3}{4}}} \) |
Solució: | |
c) \(\displaystyle \lim {n^{-2}} \) |
Solució: | |
d) \(\displaystyle \lim \frac{1}{n^4} \) |
Solució: | |
e) \( \displaystyle \lim \sqrt[3]{n^5} \) |
Solució: | |
f) \( \displaystyle \lim \frac{\sqrt[3]{n^4}}{\sqrt[5]{n^7}} \) |
Solució: | |
g) \( \displaystyle \lim \left( \frac{3}{5} \right)^n \) |
Solució: | |
h) \( \displaystyle \lim 5^{n} \) |
Solució: |
Hi ha casos que no estan enumerats als dos apartats anteriors. Es coneixen com a indeterminacions, tot i que molts es podran calcular. La indeterminació es refereix a què no es podran determinar inmediatament.
Exemples de indeterminacions:
| \(+\infty-\infty\) | ||
| \(\infty·0\) | \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\) | \(\displaystyle\frac{0}{0}\) |
| \(1^{\infty}\) | \(0^0\) | \(\left( \infty\right)^0\) |
Els infinits es poden comparar. Si dues succesions \(a_n\) i \(b_n\) són divergents aleshores es diu que:
| Els dos infinits de les successions \(a_n\) i \(b_n\) són equivalents si: | \(\displaystyle \lim {\frac{a_n}{b_n}} = 1 \) |
| Els dos infinits de les successions \(a_n\) i \(b_n\) tenen el mateix ordre si: | \(\displaystyle \lim {\frac{a_n}{b_n}} = k \ne 0 \) |
| L'infinit de la successió \(a_n\) és de major ordre que el de \(b_n\) si: | \(\displaystyle \lim {\frac{a_n}{b_n}} = \infty \) |
| L'infinit de la successió \(a_n\) és de menor ordre que el de \(b_n\) si: | \(\displaystyle \lim {\frac{a_n}{b_n}} = 0 \) |
| Els dos infinits de les successions \(a_n\) i \(b_n\) no són comparables si: | \(\displaystyle \nexists \lim {\frac{a_n}{b_n}} \) |
I a més tenim la següent propietat:
La suma de dos o més infinits de diferent ordre equival al infinit de major ordre.
Exemple 10:
\(\displaystyle \lim \left( 7n^4-5n^3+2n^2 \right) = \lim 7n^4 = +\infty \)
\(\displaystyle \lim \left( 2+4n-6n^3 \right) = \lim \left( -6n^3 \right) = -\infty \)
\(\displaystyle \lim \left( 3^n+4^n \right) = \lim 4^n = +\infty \)
\(\displaystyle \lim \left( n^{12}-2^n \right) = \lim \left( -2^n \right) = -\infty \)