Un polinomi està format per una suma d'un nombre finits de monomis
\(p(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_ 1 x + a_0 \),
i un monomi està format pel producte d'una constant per una funció potencial. Degut a que les funcions potencials són funcions contínues, els monomis i els polinomis també són funcions contínues. Per tant:
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}{p(x)}=p(a) \quad\quad \forall a \in \mathbb{R}\)
Quan la \(x\) tendeixi a \(\infty\) el límit del polinomi coincideix amb el límit del monomi de major ordre. El signe es determina amb la regla dels signes.
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}{p(x)} = \lim_{x\rightarrow \infty}{a_n x^n} = \infty \)
Exemple 12
Sigui la funció \(f(x)=-2x^3-3x+5 \). Volem calcular els següents límits:
a. \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow -2}{f(x)} \quad\quad\quad\quad \) b. \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}{f(x)} \quad\quad\quad\quad \) c. \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}{f(x)} \)
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow -2}{f(x)} = -2·(-2)^3-3·(-2)+5 = -5 \)
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}{f(x)} = \lim_{x\rightarrow +\infty}{\left( -2x^3-3x+5 \right)} = \lim_{x\rightarrow +\infty}{-2x^3} = -2·(+\infty)^3 = -\infty \)
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}{f(x)} = \lim_{x\rightarrow -\infty}{\left( -2x^3-3x+5 \right)} = \lim_{x\rightarrow -\infty}{-2x^3} = -2·(-\infty)^3 = +\infty \)
Una funció racional és una funció que pot ser expressada de la forma:
\(\displaystyle f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}\),
on \(p(x)\) i \(q(x)\) són polinomis i \(q(x)\) és diferent del polinomi nul. El domini d'una funció racional són tots els nombres reals excepte els que anul·len el denominador.
Una funció racional és contínua en tot el seu domini, per tant:
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow a}{f(x)}=\frac{p(a)}{q(a)} \quad\quad \forall a \in \text{Dom} f(x) \),
però a més es pot calcular el límit quan \(x\) tendeixi a qualsevol nombre real \(a\), encara que no sigui del domini. Es poden resumir els casos possibles en el següent esquema:
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow a}{\frac{p(x)}{q(x)}} = \left\lbrace\begin{array}{lll} \frac{p(a)}{q(a)} & \text{amb} & q(a) \ne 0 \\[10pt] \frac{p(a)}{0} = \infty & \text{amb} & q(a) = 0 \land p(a) \ne 0 \\[10pt] \frac{0}{0} \quad (\text{Indet.}) & \text{amb} & p(a) = q(a) = 0 \end{array}\right. \)
En el primer cas el límit és immediat i correspon a un valor \(a\) pertanyent al domini de la funció.
En el segon cas s'han de calcular els dos límits laterals per trobar el signe del infinit.
En el tercer cas la indeterminació es resol dividint numerador i denominador entre \((x-a)\) fent servir la regla de Ruffini, per exemple.
Exemple 13
Sigui la funció \(\displaystyle f(x)=\frac{x^3-2x^2-5x+6}{x^3-7x+6} \). Volem calcular els següents límits:
a. \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}{f(x)} \quad\quad\quad\quad \) b. \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}{f(x)} \quad\quad\quad\quad \) c. \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2}{f(x)} \)
Aquest primer límit és immediat ja que el denominador no s'anul·la quan \(x=0\):
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}{f(x)} = \frac{0^3-2·0^2-5·0+6}{0^3-7·0+6} = 1\)
En aquest segon límit tenim una indeterminació \(\displaystyle\frac{0}{0}\):
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}{f(x)}=\frac{1^3-2·1^2-5·1+6}{1^3-7·1+6}=\frac{0}{0}\)
La indeterminació es resol dividint numerador i denominador entre \(x-1\) fent servir la regla de Ruffini:
\(\begin{array}{r|rrrr} &1&-2&-5& \begin{array}{r} 6 \end{array} \\ 1&&1&-1& \begin{array}{r} -6 \end{array} \\ \hline &1&-1&-6& \begin{array}{|r} 0 \\ \hline \end{array} \end{array} \quad\quad\quad\quad \begin{array}{r|rrrr} &1&0&-7& \begin{array}{r} 6 \end{array} \\ 1&&1&1& \begin{array}{r} -6 \end{array} \\ \hline &1&1&-6& \begin{array}{|r} 0 \\ \hline \end{array} \end{array}\)
Amb això podem determinar el límit:
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}{f(x)} = \lim_{x\rightarrow 1}{\frac{\cancel{(x-1)}(x^2-x-6)}{\cancel{(x-1)}(x^2+x-6)}} = \frac{1^2-1-6}{1^2+1-6} = \frac{3}{2} \)
En aquest últim límit tenim una indeterminació \(\displaystyle\frac{k}{0}=\infty\).
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}{f(x)}=\frac{2^3-2·2^2-5·2+6}{2^3-7·2+6}=\frac{-4}{0}\)
El resultat d'aquesta indeterminació és un infinit, però hem de calcular els dos límits laterals per a conèixer el signe. Abans és convenient factoritzar el numerador i el denominador de la funció racional i simplificar-la al màxim.
\(\begin{array}{r|rrrr} &1&-2&-5& \begin{array}{r} 6 \end{array} \\ 1&&1&-1& \begin{array}{r} -6 \end{array} \\ \hline &1&-1&-6& \begin{array}{|r} 0 \\ \hline \end{array} \\ -2&&-2&\begin{array}{r} 6 \end{array} \\ \hline &1&-3& \begin{array}{|r} 0 \\ \hline \end{array} \end{array} \quad\quad\quad\quad \begin{array}{r|rrrr} &1&0&-7& \begin{array}{r} 6 \end{array} \\ 1&&1&1& \begin{array}{r} -6 \end{array} \\ \hline &1&1&-6& \begin{array}{|r} 0 \\ \hline \end{array} \\ 2&&2&\begin{array}{r} 6 \end{array} \\ \hline &1&3& \begin{array}{|r} 0 \\ \hline \end{array} \end{array}\)
\( \displaystyle f(x)= \frac{\cancel{(x-1)}(x+2)(x-3)}{\cancel{(x-1)}(x-2)(x+3)}= \frac{(x+2)(x-3)}{(x-2)(x+3)} \)
\( \displaystyle \left.\begin{array}{l} \lim_{x\rightarrow 2^{-}}{f(x)}= \lim_{x\rightarrow 2^{-}}{\frac{(x+2)(x-3)}{(x-2)(x+3)}}= \frac{4·(-1)}{0^{-}·5}=+\infty \\ \lim_{x\rightarrow 2^{+}}{f(x)}= \lim_{x\rightarrow 2^{+}}{\frac{(x+2)(x-3)}{(x-2)(x+3)}}= \frac{4·(-1)}{0^{+}·5}=-\infty \end{array}\right\rbrace \Rightarrow \lim_{x\rightarrow 2}{f(x)}=\infty \)
També es poden calcular els límits de funcions racionals quan \(x\) tendeix a \(\infty\). S'obtenen indeterminacions del tipus \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\) que es poden resumir en el següent esquema:
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} {\frac{a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1 x+a_0} {b_m x^m+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_1 x+b_0}}= \lim_{x\rightarrow \infty}{\frac{a_n x^n}{b_m x^m}}= \left\lbrace\begin{array}{lll} 0 & \text{si} & n \lt m \\[10pt] \frac{a_n}{b_m} & \text{si} & n = m \\[10pt] \infty & \text{si} & n \gt m \end{array}\right. \)
Els dos primers casos són límits immediats.
En el tercer cas només queda per determinar el signe de l'infinit calculant els límits quan \(x\) tendeix a \(\pm\infty\).
Exemple 14
Calcula els límits quan \(x\) tendeix a \(\infty\) de les funcions següents:
| a. \(\displaystyle f(x)=\frac{x^2-4x+5}{2x^3-x^2+3} \quad\quad\quad \) | b. \(\displaystyle f(x)=\frac{3x^2-x-2}{6x^2+3x+1} \quad\quad\quad \) |
| c. \(\displaystyle f(x)=\frac{4x^4-2x^2+3}{-x^3+x^2-1}\) | d. \(\displaystyle f(x)=\frac{2x^3-x+5}{-x+3}\) |
Aquest primer límit és immediat ja que el polinomi de major grau és el del denominador:
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}{\frac{x^2-4x+5}{2x^3-x^2+3}} = 0\)
Aquest límit també es immediat. Quan els polinomis són del mateix grau, el límit és el quocient dels coeficients de major grau.
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}{\frac{3x^2-x-2}{6x^2+3x+1}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
En aquest cas el resultat és infinit i hem de determinar el signe calculant els límits quan \(x\) tendeix a \(\pm\infty\):
\( \displaystyle \left.\begin{array}{l} \lim_{x\rightarrow -\infty}{\frac{4x^4-2x^2+3}{-x^3+x^2-1}}= \lim_{x\rightarrow -\infty}{\frac{4x^4}{-x^3}}= \lim_{x\rightarrow -\infty}{-4x}=+\infty \\ \lim_{x\rightarrow +\infty}{\frac{4x^4-2x^2+3}{-x^3+x^2-1}}= \lim_{x\rightarrow +\infty}{\frac{4x^4}{-x^3}}= \lim_{x\rightarrow +\infty}{-4x}=-\infty \end{array}\right\rbrace \Rightarrow \lim_{x\rightarrow \infty}{f(x)}=\infty \)
En aquest cas el resultat és infinit i hem de determinar el signe, igual que en el apartat anterior:
\( \displaystyle \left.\begin{array}{l} \lim_{x\rightarrow -\infty}{\frac{2x^3-x+5}{-x+3}}= \lim_{x\rightarrow -\infty}{\frac{2x^3}{-x}}= \lim_{x\rightarrow -\infty}{-2x^2}=-\infty \\ \lim_{x\rightarrow +\infty}{\frac{2x^3-x+5}{-x+3}}= \lim_{x\rightarrow +\infty}{\frac{2x^3}{-x}}= \lim_{x\rightarrow +\infty}{-2x^2}=-\infty \end{array}\right\rbrace \Rightarrow \lim_{x\rightarrow \infty}{f(x)}=-\infty \)