Càlcul de límits (I)

Operacions amb límits finits

Sigui una funció \(f(x)\) amb límit definit en el punt \(x=a\), i siguin \(k\) un nombre real i \(n\) un nombre natural. Si \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=L\), aleshores:

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\left(f(x) \pm k \right)=L \pm k\)
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\left(k·f(x) \right)=k·L\)
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{k}=\frac{L}{k}\quad\quad\left(k\ne 0\right)\)
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\left(f(x)\right)^k=L^k\quad\quad\left(L\gt 0\right)\)
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{L}\quad\quad\left(L\gt 0\right)\)

Siguin dues funcions \(f(x)\) i \(g(x)\) amb límit definit en el punt \(x=a\). Si \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=L\) i \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}g(x)=M\), aleshores:

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\left[f(x)\pm g(x)\right]=L \pm M\)
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\left[f(x)·g(x)\right]=L·M\)
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}\quad\quad\left(M\ne 0\right)\)
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\left[f(x)\right]^{g(x)}=L^M\quad\quad\left(L\gt 0\right)\)

Totes aquestes propietats són vàlides també si la variable \(x\) en comptes de tendir a un nombre real \(a\) tendeix a \(+\infty\) o a \(-\infty\).

Operacions amb límits infinits

De vegades s'han de fer operacions amb límits en què intervé l'infinit, ja sigui com a operand o com a resultat de la operació. A continuació s'enumeren els casos, representats de manera simbòlica, que tenen una solució determinada de manera inmediata.

Suma amb infinits:

\(k + \infty = +\infty\)

\(k - \infty = -\infty\)

\(+\infty + \infty = +\infty\)

\(-\infty - \infty = -\infty\)

Producte per infinits:

\(k · \infty = \infty\)	\((\)Si \(k \ne 0)\)	El signe es dedueix de la regla dels signes.
\(\infty · \infty = \infty\)		El signe es dedueix de la regla dels signes.

Quocient amb un infinit:

\(\displaystyle \frac{k}{\infty} = 0 \)
\(\displaystyle \frac{\infty}{k} = \infty \)	El signe es dedueix de la regla dels signes.

Divisió entre zero:

\(\displaystyle \frac{k}{0} = \infty \)

\((\)Si \(k \ne 0)\)

El signe es dedueix de la regla dels signes.

Potències amb infinits:

\( k^{+\infty} = \left\lbrace\begin{array}{ccl} +\infty &\text{si} & x \gt 1 \\[1.5em] 0 &\text{si} & 0 \le k \lt 1 \end{array}\right. \)
\( k^{-\infty} = \left\lbrace\begin{array}{ccl} 0 &\text{si} & k \gt 1 \\[1.5em] +\infty &\text{si} & 0 \le k \lt 1 \end{array}\right. \)
\( \left(+\infty\right)^k = \left\lbrace\begin{array}{ccl} +\infty &\text{si} & k \gt 0 \\[1.5em] 0 &\text{si} & k \lt 0 \end{array}\right. \)
\(\left(+\infty\right)^{+\infty}=+\infty \)
\(\left(+\infty\right)^{-\infty}=0 \)
\(\sqrt[n]{+\infty}=+\infty \)
\(\sqrt[n]{-\infty}=-\infty \)	\((\)Si \(n\) és senar\()\)

Indeterminacions

Hi ha casos que no estan enumerats als dos apartats anteriors. Es coneixen com a indeterminacions, tot i que molts es podran calcular. La indeterminació es refereix a què no es podran determinar inmediatament.

Exemples de indeterminacions:

	\(+\infty-\infty\)
\(\infty·0\)	\(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\)	\(\displaystyle\frac{0}{0}\)
\(1^{+\infty}\)	\(1^{-\infty}\)	\(\left(+\infty\right)^0\)

Propietats de les operacions amb funcions contínues

Siguin dues funcions \(f(x)\) i \(g(x)\) contínues en el punt \(x=a\), aleshores:

\(f(x) + g(x)\) és una funció contínua en \(x=a\)
\(f(x) - g(x)\) és una funció contínua en \(x=a\)
\(f(x) · g(x)\) és una funció contínua en \(x=a\)
\(\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\) és una funció contínua si \(g(x) \ne 0 \)

A més, si la funció \(f(x)\) és contínua en el punt \(a\) i \(g(x)\) és contínua en el punt \(f(a)\)

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}{g\left[f(x)\right]}=g\left(\lim_{x\rightarrow a}f(x)\right)\)

Comparació d'infinits

Es diu que \(f(x)\) té un infinit en \(a\) (o en \(\pm\infty\)) si \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}{f(x)}=\infty\). Uns exemples concrets són els que s'anomenen infinits fonamentals que són els següents:

Infinit logarítmic:	\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} {\log_a{x}} = +\infty \)	\( ( a \gt 1 ) \)
Infinit potencial:	\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} {x^b} = +\infty \)	\( ( b \gt 1 ) \)
Infinit exponencial:	\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} {c^x} = +\infty \)	\( ( c \gt 1 ) \)
Infinit potencial-exponencial:	\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} {x^{dx}} = +\infty \)	\( ( d \gt 1 ) \)

Els infinits es poden comparar. Si dues funcions \(f(x)\) i \(g(x)\) tenen un infinit en \(a\) (o en \(\pm\infty\)) aleshores es diu que:

Els dos infinits \(f(x)\) i \(g(x)\) són equivalents si:	\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} {\frac{f(x)}{g(x)}} = 1 \)
Els dos infinits \(f(x)\) i \(g(x)\) tenen el mateix ordre si:	\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} {\frac{f(x)}{g(x)}} = k \ne 0 \)
L'infinit de \(f(x)\) és de major ordre que el de \(g(x)\) si:	\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} {\frac{f(x)}{g(x)}} = \infty \)
L'infinit de \(f(x)\) és de menor ordre que el de \(g(x)\) si:	\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} {\frac{f(x)}{g(x)}} = 0 \)
Els dos infinits \(f(x)\) i \(g(x)\) no són comparables si:	\(\displaystyle \nexists \lim_{x\rightarrow a} {\frac{f(x)}{g(x)}} \)

Comparació d'infinits fonamentals

Quan \(x \rightarrow +\infty \) els infinits exponencials són d'ordre superior als infinits potencials, i aquests són d'ordre superior als infinits logarítmics.
Donats dos infinits exponencials, el de major base és el de major ordre.
Donats dos infinits potencials, el de major exponent és el de major ordre.
Donats dos infinits logarítmics, el de menor base és el de major ordre.

A més tenim la següent propietat:

La suma de dos infinits de diferent ordre equival al infinit de major ordre.