En matemàtiques, una successió de nombres reals és una funció que assigna a cada nombre natural \(n\) un nombre real \(a_n\):
\(\displaystyle \begin{array}{rrcl} a:& \Bbb{N} & \rightarrow & \Bbb{R} \\ & 1 & \mapsto & a_1 \\ & 2 & \mapsto & a_2 \\ & 3 & \mapsto & a_3 \\ & & \cdots & \\ & n & \mapsto & a_n \\ \end{array} \)
En altres paraules, una successió és una llista ordenada de nombres reals. Cada un d'aquests nombres s'anomena terme de la successió. En totes les successions hi ha un primer terme i no n'hi ha un últim.
S'anomena terme general d'una successió, i s'escriu \(a_n\), al terme que ocupa un lloc qualsevol \(n\) sense especificar. En algunes successions el terme general es pot calcular mitjançant una expressió algebraica depenent de \(n\). I en altres successions el que es fa servir és una relació de recurrència que permet calcular el terme \(a_n\) en funció dels termes anteriors (\(a_{n-1}, a_{n-2}, \ldots \)).
Exemple 1:
La successió \(a=\left( 5,10,15,20,25, \ldots \right)\) té com a terme general \(a_n=5n, \;\forall n\in\Bbb{N}\).
\(\displaystyle \begin{array}{rrcl} a:& \Bbb{N} & \rightarrow & \Bbb{R} \\ & 1 & \mapsto & a_1 = 5 \cdot 1 = 5\\ & 2 & \mapsto & a_2 = 5 \cdot 2 = 10\\ & 3 & \mapsto & a_3 = 5 \cdot 3 = 15\\ & 4 & \mapsto & a_4 = 5 \cdot 4 = 20\\ & 5 & \mapsto & a_5 = 5 \cdot 5 = 25\\ & & \cdots & \\ & n & \mapsto & a_n = 5n \\ \end{array} \)
Exemple 2:
La successió dels quadrats dels nombres naturals \(b=\left( 1,4,9,16,25, \ldots \right)\) té com a terme general \(b_n=n^2, \;\forall n\in\Bbb{N}\).
\(\displaystyle \begin{array}{rrcl} b:& \Bbb{N} & \rightarrow & \Bbb{R} \\ & 1 & \mapsto & b_1 = 1^2 = 1\\ & 2 & \mapsto & b_2 = 2^2 = 4\\ & 3 & \mapsto & b_3 = 3^2 = 9\\ & 4 & \mapsto & b_4 = 4^2 = 16\\ & 5 & \mapsto & b_5 = 5^2 = 25\\ & & \cdots & \\ & n & \mapsto & b_n = n^2 \\ \end{array} \)
Exemple 3:
La successió de Fibonacci és una succesió que es defineix mitjançant una relació de recurrència. Els dos primers termes són iguals a \(1\) i a partir del tercer es calculen sumant els dos anteriors:
\(\displaystyle \left\lbrace \begin{array}{l} c_1=1 \\ c_2=1 \\ c_n=c_{n-1}+c_{n-2}, \; \forall n \gt 2 \end{array} \right. \)
Els seus primers termes són:
\( 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,\ldots \)
Exercici 1:
Donada la successió de terme general \(\displaystyle a_n=\frac{n}{n+1}, \;\forall n\in\Bbb{N}\):
Exercici 2:
Donada la successió de terme general \(\displaystyle b_n=3n+15, \;\forall n\in\Bbb{N}\):
Exercici 3:
Troba els cinc primers termes de la successió \(\displaystyle a_n=\frac{a_{n-1}+4}{a_{n-1}+1}, \;\forall n \ge 2\) amb \(a_1=1\):
Exercici 4:
Quina és l'expressió del terme general en funció de \(n\) de les següents successions?
| \(a=\left( 10,12,14,16,18, \ldots \right)\) | Solució: | |
| \(b=\left( 2,4,8,16,32, \ldots \right)\) | Solució: | |
| \(c=\left( 2,5,10,17,26, \ldots \right)\) | Solució: | |
| \(d=\left( -1,1,-1,1,-1,1, \ldots \right)\) | Solució: | |
| \(e=\left( 3,-9,27,-81,243, \ldots \right)\) | Solució: |
Exercici 5:
Escriu l'expressió del terme general en funció de \(n\) de les següents successions. Indica també si existeix alguna relació de recurréncia.
| \(a=\left( -7,-4,-1,2,5,8, \ldots \right)\) | Solució: | |
| \(b=\left( 50,51,52,53,54,55, \ldots \right)\) | Solució: | |
| \(c=\left( 5,0,-5,-10,-15,-20, \ldots \right)\) | Solució: |
Exercici 6:
Escriu l'expressió del terme general en funció de \(n\) de les següents successions. Indica també si existeix alguna relació de recurréncia.
| \(a=\left( 8,16,32,64,128, \ldots \right)\) | Solució: | |
| \(b=\left( 6,-18,54,-162,486, \ldots \right)\) | Solució: | |
| \(c=\left( 1,-1,1,-1,1,-1,1,-1, \ldots \right)\) | Solució: |
Una successió és creixent si cada terme és major o igual que l'anterior:
\( a_1 \le a_2 \le a_3 \le \ldots \le a_n \le a_{n+1} \le \ldots \)
Si totes les desigualtats són estrictes, aleshores la successió s'anomena estrictament creixent:
\( a_1 \lt a_2 \lt a_3 \lt \ldots \lt a_n \lt a_{n+1} \lt \ldots \)
Anàlogament una successió és decreixent si cada terme és menor o igual que l'anterior
\( a_1 \ge a_2 \ge a_3 \ge \ldots \ge a_n \ge a_{n+1} \ge \ldots \)
i estrictament decreixent si les desigualtats són estrictes:
\( a_1 \gt a_2 \gt a_3 \gt \ldots \gt a_n \gt a_{n+1} \gt \ldots \)
En tots aquests casos es diu que la successió és monòtona.
Exemple 4:
La successió \( a_n=2n-10 \) és una successió estrictament creixent.
\( -8 \lt -6 \lt -4 \lt -2 \lt 0 \lt 2 \lt \ldots \)
La successió \( \displaystyle b_n=\frac{1}{n} \) és una successió estrictament decreixent.
\( \displaystyle 1 \gt \frac{1}{2} \gt \frac{1}{3} \gt \frac{1}{4} \gt \frac{1}{5} \gt \ldots \)
La successió \( \displaystyle c_n=\left( 2n-3 \right)^2 \) és una successió creixent.
\( \displaystyle 1 = 1 \lt 9 \lt 25 \lt 49 \lt \ldots \)
La successió \( \displaystyle d_n=\left( -1 \right)^n \) no és una successió monòtona.
\( -1 \lt 1 \gt -1 \lt 1 \gt -1 \lt 1 \gt \ldots \)
Una successió \(a\) està fitada superiorment si existeix un nombre real \(K\) tal que tots els termes de la successió són menors que \(K\). És a dir:
\( \exists K\in\Bbb{R} \; ; \quad \forall n \in\Bbb{N} \quad a_n \le K \)
El nombre \(K\) es diu fita superior de la successió.
Anàlogament una successió \(a\) està fitada inferiorment si existeix un nombre real \(K\) tal que tots els termes de la successió són majors que \(K\). És a dir:
\( \exists K\in\Bbb{R} \; ; \quad \forall n \in\Bbb{N} \quad a_n \ge K \)
En aquest cas el nombre \(K\) es diu fita inferior de la successió.
Observacions:
Es diu que una successió està fitada si està fitada, alhora, inferiorment i superiorment.
Les fites, si existeixen, no són úniques.
Exemple 5:
La successió \( \displaystyle a_n=\frac{1}{n} \;\; \forall n \in \Bbb{N}\):
\( \displaystyle a = \left( 1 , \frac{1}{2} , \frac{1}{3} , \frac{1}{4} , \frac{1}{5} , \ldots \right)\)
està formada per nombres positius més petits o iguals que \(1\). Per tant està fitada inferiorment i superiorment.
\( \displaystyle 0 \lt \frac{1}{n} \le 1 \quad \forall n \in \Bbb{N} \)
La successió \( \displaystyle b_n=3n+6 \;\; \forall n \in \Bbb{N}\):
\( \displaystyle a = \left( 9, 12 , 15 , 18 , 21 , \ldots \right)\)
està fitada inferiorment però no superiorment.
\( \displaystyle 3n+6 \ge 9 \quad \forall n \in \Bbb{N} \)
La successió \( \displaystyle c_n=5-n^2 \;\; \forall n \in \Bbb{N}\):
\( \displaystyle a = \left( 4, 1 , -4 , -11 , -20 , \ldots \right)\)
està fitada superiorment però no inferiorment.
\( \displaystyle 5-n^2 \le 4 \quad \forall n \in \Bbb{N} \)