Potència d'un punt respecte a una circumferència

Potència d'un punt respecte a una circumferència

Siguin \(P\) un punt del pla i \(c\) una circumferència. Aleshores per a qualsevol línia que passi per \(P\) i que talli a la circumferència en dos punts \(A\) i \(B\) es compleix que \(PA \cdot PB \) és constant. Aquesta constant és independent de la línia secant i s'anomena potència \(p\) del punt \(P\) respecte a la circumferència.

\( p = PA\cdot PB \)

Es pot considerar també el cas de la recta tangent com un cas límit de recta secant. El punt de tangència es considera com un punt doble. Per tant:

\( p = PT^2 = PA\cdot PB \)

Càlcul de la potència d'un punt respecte a una circumferència

Punt exterior a una circumferència

Donats una circumferència \(c\) de centre \(C\) i radi \(r\), un punt \(P\) exterior a la circumferència situat a una distància \(d\) de \(C\) i sigui \(T\) un qualsevol dels dos punts de tangència. Aleshores el triangle \(\triangle CPT\) és rectangle amb \(\widehat{T}=90^{\circ}\) i verifica el teorema de Pitàgoras.

\( PT^2 = PC^2 - TC^2 \quad\Rightarrow\quad p = d^2 - r^2 \)

Es pot fer servir altre raonament per deduir aquesta expressió. Si es traça la secant que passa pel centre, aleshores es compleix que:

\( p = PA \cdot PB = \left( d-r \right) \cdot \left( d+r \right) \quad\Rightarrow\quad p = d^2 - r^2 \)

Punt de la circumferència

Si \(P\) és de la circumferéncia, aleshores un dels dos punts de tall de qualsevol recta secant és el propi punt \(P\). Per tant:

\(p=0\).

Punt interior a una circumferència

Si es considera la secant que passa pel centre de la circumferència, aleshores

\(\displaystyle p = PA \cdot PB = \left( r-d \right) \cdot \left( r+d \right) = r^2-d^2 \)

Com que aquesta expressió és la oposada de l'obtinguda per a punts exteriors, a la pràctica el que es fa és fer servir la expressió \( p = d^2-r^2\) per a qualsevol punt. El signe del resultat indicarà la posició del punt respecte a la circumferència. Serà positiu si el punt es exterior, negatiu si el punt és interior i serà \(0\) si es tracta d'un pun de la circumférncia.

A més, com que la distància del punt \( P(x,y) \) al centre \( C(a,b) \) es calcula amb l'expressió

\(\displaystyle \sqrt{\left( x-a \right)^2 + \left( y-b \right)^2 } \),

resulta que:

\(\displaystyle \begin{align} p &= d^2-r^2 \\ &= \left( x-a \right)^2 + \left( y-b \right)^2 - r^2 \\ &= x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 \end{align} \)

Eix radical de dues circumferències

Donades dues circumferències:

\( \begin{array}{ll} c_1: & x^2+y^2+D_1 x+E_1 y+F_1 \\ c_2: & x^2+y^2+D_2 x+E_2 y+F_2 \end{array} \),

es defineix l'eix radical d'aquestes dues circumferències com el lloc geomètric dels punts que tenen la mateixa potència respecte a cadascuna de les dues circumferències.

Per determinar l'equació d'aquest lloc geomètric s'han d'igualar les dues potències:

\(\displaystyle \begin{align} p_1 = p_2 \quad &\Rightarrow\quad x^2+y^2+D_1 x+E_1 y+F_1 = x^2+y^2+D_2 x+E_2 y+F_2 \\[5pt] &\Rightarrow\quad \left( D_1-D_2 \right)x + \left( E_1-E_2 \right)y + \left( F_1-F_2 \right) = 0 \end{align} \)

Aquesta equació és la d'una recta perpendicular al segment que uneix els centres. Algunes propietats d'aquesta recta són:

• Si les circumferències són secants passa pels dos punts d'intersecció.
• Si les circumferències són tangents (interiors o exteriors) passa pel punt de tangència.
• Si les circumferències són concèntriques no està definida.

Centre radical de tres circumferències

Donades tres circumferències hi ha un únic punt que té la mateixa potència respecte a cadascuna de les tres. Es calcula determinant la intersecció de dos dels tres eixos radicals determinats per les tres circumferències.