Rectes i circumferències tangents

Exemple 1

Troba l'equació de la circumferència de centre $P(-1,1)$ i tangent a la recta $s:\,4x+3y-24=0$.

Resolució

Calculem la distància del punt $P$ a la recta $s$:

$\displaystyle r=d(P,s)=\frac{\left| 4 \cdot (-1) + 3 \cdot 1 -24 \right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=5$

I ja podem escriure l'equació de la circumferència:

$\displaystyle \left( x+1 \right)^2 + \left( y-1 \right)^2 = 25$

Exemple 2

Troba l'equació de la recta tangent a la circumferència d'equació $x^2+y^2-8x-2y+7=0$ pel punt $P(1,2)$.

Resolució

Primer comprovem que $P$ pertany a la circumferència:

$\displaystyle 1^2+2^2-8 \cdot 1-2\cdot 2+7=0$

Per tant només hi haurà una recta tangent. Per trobar-la primer calculem les coordenades del centre i les components d'un dels dos vectors que uneixen el centre i el punt de tangència:

$\displaystyle C\left(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right) \quad\Rightarrow\quad C\left(4,1\right) \quad\Rightarrow\quad \vec{PC}=\left( 3,-1 \right)$

Degut a que la tangent que busquem ha de ser perpendicular a aquest vector, la seva equació serà de la forma $3x-y+C$. Per trobar el valor de $C$ imposem que el punt $P(1,2)$ pertany a la recta.

$\displaystyle 3 \cdot 1-2+C=0 \quad\Rightarrow\quad C=-1$

Per tant:

$\displaystyle 3x-y-1=0$

Exemple 3

Troba l'equació de les rectes tangents a la circumferència d'equació $\left( x-4 \right)^2+\left( y+2 \right)^2=10$ pel punt $P(-1,3)$.

Resolució

Farem servir l'equació del feix de rectes que passen pel punt $P(-1,3)$.

$\displaystyle y-3=m\left(x+1\right) \quad\Rightarrow\quad y=3+m\left(x+1\right)$

Ara el sistema format per aquesta equació i l'equació de la circumferència ha de tenir solució única.

$\displaystyle \begin{align} \left.\begin{array}{r} \left( x-4 \right)^2+\left( y+2 \right)^2=10 \\[5pt] y=3+m\left(x+1\right) \end{array}\right\rbrace\quad &\Rightarrow\quad \left( x-4 \right)^2+\left( 3+m\left(x+1\right)+2 \right)^2=10 \\ &\Rightarrow\quad \left( x-4 \right)^2+\left( 5+m\left(x+1\right) \right)^2=10 \\ &\Rightarrow\quad \left( m^2+1 \right) x^2 + \left( 2m^2+10m-8 \right) + \left( m^2+10m+31 \right)=0 \end{align}$

I perquè passi això el discriminant de l'equació de segon grau ha de ser nul.

$\displaystyle \begin{align} \Delta=0 \quad &\Rightarrow\quad \left( 2m^2+10m-8 \right)^2 - 4 \cdot \left( m^2+1 \right) \cdot \left( m^2+10m+31 \right) = 0 \\ &\Rightarrow\quad 3m^2+10m+3=0 \\ &\Rightarrow\quad \left\lbrace\begin{array}{l}m=-3\\m=-\frac{1}{3}\end{array}\right. \end{align}$

Per tant les dues rectes tangents són:

$\displaystyle \begin{align} y=3-3\left(x+1\right) \quad & \Rightarrow \quad y=-3x \\ y=3-\frac{1}{3}\left(x+1\right) \quad & \Rightarrow \quad y=\frac{-x+8}{3} \end{align}$

Exemple 4

Troba l'equació de les rectes tangents a la circumferència d'equació $\left( x-1 \right)^2+\left( y-1 \right)^2=5$ pel punt $P(6,1)$.

Resolució

Farem servir l'equació del feix de rectes que passen pel punt $P(6,1)$.

$\displaystyle s:\,y-1=m\left(x-6\right) \quad\Rightarrow\quad mx-y+(1-6m)=0$

Ara per trobar $m$ imposem que la distància entre la recta i el centre $C(1,1)$ de la circumferència ha de coincidir amb el radi $r=\sqrt{5}$.

$\displaystyle \begin{align} d(C,s) = \sqrt{5} \quad &\Rightarrow\quad \frac{\left| m\cdot 1-1+(1-6m) \right|}{\sqrt{m^2+1}}=\sqrt{5} \\ &\Rightarrow\quad \frac{\left| -5m \right|}{\sqrt{m^2+1}}=\sqrt{5} \\ &\Rightarrow\quad \frac{25m^2}{\sqrt{m^2+1}}=\sqrt{5} \\ &\Rightarrow\quad m=\pm\frac{1}{2} \\ \end{align}$

Per tant les dues rectes tangents són:

$\displaystyle \begin{align} y-1=\frac{1}{2}\left(x-6\right) \quad & \Rightarrow \quad y=\frac{x}{2}-2 \\ y-1=-\frac{1}{2}\left(x-6\right) \quad & \Rightarrow \quad y=-\frac{x}{2}+4 \end{align}$

Exemple 5

Troba l'equació de les rectes tangents a la circumferència $c:\;\left( x-4 \right)^2+\left( y+2 \right)^2=100$ que passen pel punt $P(24,8)$.

Resolució

La circumferència $c$ té el seu centre al punt $P(4,-2)$. Per tant el punt mitjà entre $C$ i $P$ és $M(14,3)$, i el radi de la segona circumferència és:

$\displaystyle r=\sqrt{\left(24-14\right)^2+\left(8-3\right)^2}=\sqrt{125}$

Amb això l'equació general de la circumferència auxiliar és:

$\displaystyle \left(x-14\right)^2+\left(y-3\right)^2=125 \quad\Rightarrow\quad x^2+y^2-28x-6y+80=0$

L'equació general de la circumferència $c$ és:

$\displaystyle \left(x-4\right)^2+\left(y+2\right)^2=100 \quad\Rightarrow\quad x^2+y^2-8x+4y-80=0$

Els punts de tangència són les dues interseccions de les circumferències. Per tant s'obtenen resolent el sistema:

$\displaystyle \left.\begin{array}{r} x^2+y^2-28x-6y+80=0 \\ x^2+y^2-8x+4y-80=0 \end{array}\right\rbrace \quad\Rightarrow\quad \left\lbrace\begin{array}{l} (4,8) \\ (12,-8) \end{array}\right.$

Unint aquests punts amb el punt $P$ inicial s'obtenen les dues rectes tangents:

$\displaystyle \begin{array}{l} t_1:\;y=8 \\ t_2:\;4x-3y-72=0 \end{array}$