Donada una recta \(s:\;Ax+By+C=0\) i un punt \(P(a,b)\) exterior a la recta, existeix una única circumferència amb centre en el punt \(P\) i tangent a la recta \(s\).
El punt de tangència és la projecció de \(P\) sobre \(s\) i el radi de la circumferència és la distància de \(P\) a la recta \(s\). Per tant l'equació de la circumferència és:
\(\displaystyle \left( x-a \right)^2 + \left( y-b \right)^2 = r^2 \)
amb:
\(\displaystyle r=d(P,s)=\frac{\left| Aa+Bb+C \right|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)
Exemple 1
Troba l'equació de la circumferència de centre \(P(-1,1)\) i tangent a la recta \(s:\,4x+3y-24=0\).
Resolució
Calculem la distància del punt \(P\) a la recta \(s\):
\(\displaystyle r=d(P,s)=\frac{\left| 4 \cdot (-1) + 3 \cdot 1 -24 \right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=5\)
I ja podem escriure l'equació de la circumferència:
\(\displaystyle \left( x+1 \right)^2 + \left( y-1 \right)^2 = 25 \)
Exercici 1
Troba l'equació de la circumferència de centre \(P(4,-2)\) i tangent a la recta \(s:\,2x+5y-10=0\).
Es distingeuixen tres casos segons el nombre de solucions:
En aquest cas la recta tangent es troba tenint en compte que aquesta recta tangent ha de ser perpendicular al radi que passa per \(P\).
Exemple 2
Troba l'equació de la recta tangent a la circumferència d'equació \(x^2+y^2-8x-2y+7=0\) pel punt \(P(1,2)\).
Resolució
Primer comprovem que \(P\) pertany a la circumferència:
\(\displaystyle 1^2+2^2-8 \cdot 1-2\cdot 2+7=0\)
Per tant només hi haurà una recta tangent. Per trobar-la primer calculem les coordenades del centre i les components d'un dels dos vectors que uneixen el centre i el punt de tangència:
\(\displaystyle C\left(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right) \quad\Rightarrow\quad C\left(4,1\right) \quad\Rightarrow\quad \vec{PC}=\left( 3,-1 \right) \)
Degut a que la tangent que busquem ha de ser perpendicular a aquest vector, la seva equació serà de la forma \(3x-y+C\). Per trobar el valor de \(C\) imposem que el punt \(P(1,2)\) pertany a la recta.
\(\displaystyle 3 \cdot 1-2+C=0 \quad\Rightarrow\quad C=-1\)
Per tant:
\(\displaystyle 3x-y-1=0\)
Exercici 2
Troba l'equació de les rectes tangents a la circumferència \(x^2+y^2+8x-2y-3=0\) en els punts d'abscissa nul·la.
Des d'un punt exterior \(P\) a una circumferència \(c\) es poden traçar dues rectes tangents. Per trobar-les es poden fer servir diferents mètodes.
1r mètode
Es fa servir coma a condició que cada recta tangent només té un punt d'intersecció amb la circumferència.
Exemple 3
Troba l'equació de les rectes tangents a la circumferència d'equació \(\left( x-4 \right)^2+\left( y+2 \right)^2=10\) pel punt \(P(-1,3)\).
Resolució
Farem servir l'equació del feix de rectes que passen pel punt \(P(-1,3)\).
\(\displaystyle y-3=m\left(x+1\right) \quad\Rightarrow\quad y=3+m\left(x+1\right)\)
Ara el sistema format per aquesta equació i l'equació de la circumferència ha de tenir solució única.
\(\displaystyle \begin{align} \left.\begin{array}{r} \left( x-4 \right)^2+\left( y+2 \right)^2=10 \\[5pt] y=3+m\left(x+1\right) \end{array}\right\rbrace\quad &\Rightarrow\quad \left( x-4 \right)^2+\left( 3+m\left(x+1\right)+2 \right)^2=10 \\ &\Rightarrow\quad \left( x-4 \right)^2+\left( 5+m\left(x+1\right) \right)^2=10 \\ &\Rightarrow\quad \left( m^2+1 \right) x^2 + \left( 2m^2+10m-8 \right) + \left( m^2+10m+31 \right)=0 \end{align} \)
I perquè passi això el discriminant de l'equació de segon grau ha de ser nul.
\(\displaystyle \begin{align} \Delta=0 \quad &\Rightarrow\quad \left( 2m^2+10m-8 \right)^2 - 4 \cdot \left( m^2+1 \right) \cdot \left( m^2+10m+31 \right) = 0 \\ &\Rightarrow\quad 3m^2+10m+3=0 \\ &\Rightarrow\quad \left\lbrace\begin{array}{l}m=-3\\m=-\frac{1}{3}\end{array}\right. \end{align} \)
Per tant les dues rectes tangents són:
\(\displaystyle \begin{align} y=3-3\left(x+1\right) \quad & \Rightarrow \quad y=-3x \\ y=3-\frac{1}{3}\left(x+1\right) \quad & \Rightarrow \quad y=\frac{-x+8}{3} \end{align} \)
2n mètode
Es fa servir com a condició que la distància del centre a la recta tangent ha de ser igual al radi de la circumferència.
Exemple 4
Troba l'equació de les rectes tangents a la circumferència d'equació \(\left( x-1 \right)^2+\left( y-1 \right)^2=5\) pel punt \(P(6,1)\).
Resolució
Farem servir l'equació del feix de rectes que passen pel punt \(P(6,1)\).
\(\displaystyle s:\,y-1=m\left(x-6\right) \quad\Rightarrow\quad mx-y+(1-6m)=0\)
Ara per trobar \(m\) imposem que la distància entre la recta i el centre \(C(1,1)\) de la circumferència ha de coincidir amb el radi \(r=\sqrt{5}\).
\(\displaystyle \begin{align} d(C,s) = \sqrt{5} \quad &\Rightarrow\quad \frac{\left| m\cdot 1-1+(1-6m) \right|}{\sqrt{m^2+1}}=\sqrt{5} \\ &\Rightarrow\quad \frac{\left| -5m \right|}{\sqrt{m^2+1}}=\sqrt{5} \\ &\Rightarrow\quad \frac{25m^2}{\sqrt{m^2+1}}=\sqrt{5} \\ &\Rightarrow\quad m=\pm\frac{1}{2} \\ \end{align} \)
Per tant les dues rectes tangents són:
\(\displaystyle \begin{align} y-1=\frac{1}{2}\left(x-6\right) \quad & \Rightarrow \quad y=\frac{x}{2}-2 \\ y-1=-\frac{1}{2}\left(x-6\right) \quad & \Rightarrow \quad y=-\frac{x}{2}+4 \end{align} \)
Exercici 3
Troba l'equació de les rectes tangents a la circumferència \( \left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=17 \) que passen pel punt exterior \(P(6,4)\).
3r mètode
Per trobar les dues rectes tangents a una circumferència des d'un punt exterior P es pot fer servir el mètode emprat a Dibuix Tècnic. Aquest mètode diu que per trobar les rectes:
Exemple 5
Troba l'equació de les rectes tangents a la circumferència \(c:\;\left( x-4 \right)^2+\left( y+2 \right)^2=100\) que passen pel punt \(P(24,8)\).
Resolució
La circumferència \(c\) té el seu centre al punt \(P(4,-2)\). Per tant el punt mitjà entre \(C\) i \(P\) és \(M(14,3)\), i el radi de la segona circumferència és:
\(\displaystyle r=\sqrt{\left(24-14\right)^2+\left(8-3\right)^2}=\sqrt{125} \)
Amb això l'equació general de la circumferència auxiliar és:
\(\displaystyle \left(x-14\right)^2+\left(y-3\right)^2=125 \quad\Rightarrow\quad x^2+y^2-28x-6y+80=0\)
L'equació general de la circumferència \(c\) és:
\(\displaystyle \left(x-4\right)^2+\left(y+2\right)^2=100 \quad\Rightarrow\quad x^2+y^2-8x+4y-80=0\)
Els punts de tangència són les dues interseccions de les circumferències. Per tant s'obtenen resolent el sistema:
\(\displaystyle \left.\begin{array}{r} x^2+y^2-28x-6y+80=0 \\ x^2+y^2-8x+4y-80=0 \end{array}\right\rbrace \quad\Rightarrow\quad \left\lbrace\begin{array}{l} (4,8) \\ (12,-8) \end{array}\right. \)
Unint aquests punts amb el punt \(P\) inicial s'obtenen les dues rectes tangents:
\(\displaystyle \begin{array}{l} t_1:\;y=8 \\ t_2:\;4x-3y-72=0 \end{array} \)