Quan s'estudia la posició d'un recta \(s\) respecte a una circumferència de centre \(C\) i radi \(r\), poden donar-se tres casos:
La recta és secant a la circumferència si tenen dos punts en comú. Això ocurrirà quan \( d(C,s) \lt r \)
La recta és tangent a la circumferència si només tenen un punt en comú. Això ocurrirà quan \( d(C,s) = r \)
La recta és exterior a la circumferència quan no tenen punts en comú. Això ocurrirà quan \( d(C,s) \gt r \)
Una propietat important de la recta tangent a una circumferència és que és perpendicular al radi que passa pel punt de tangència.
Exercici 1
Troba la posició relativa respecte a la circumferència \(c:\,x^2+y^2+4x-2y-5=0\) de cada una de les següents rectes.
\(\displaystyle \begin{array}{lr} s: & x+3y-11=0 \\[5pt] t: & 3x-y-4=0 \\[5pt] u: & x-3y-4=0 \end{array} \)
Quan s'estudia la posició relativa de dues circumferències poden donar-se diferents casos. Si \(C_1\) i \(r_1\) són el centre i el radi de la circumferència major, i \(C_2\) i \(r_2\) els de la circumferència menor i \(d\) és la distància entre els dos centres, aleshores:
| \(d \gt r_1+r_2\) | \(\quad\Rightarrow\quad\) Circumferències exteriors |
| \(d = r_1+r_2\) | \(\quad\Rightarrow\quad\) Circumferències tangents exteriors |
| \(r_1-r_2 \lt d \lt r_1+r_2\) | \(\quad\Rightarrow\quad\) Circumferències secants |
| \(d=r_1-r_2\) | \(\quad\Rightarrow\quad\) Circumferències tangents interiors |
| \(0 \lt d \lt r_1-r_2\) | \(\quad\Rightarrow\quad\) \(c_2\) és interior a \(c_1\). |
| \(d=0\) | \(\quad\Rightarrow\quad\) Circumferències concèntriques |
Si les dues circumferències tenen el mateix radi \(r\) els casos possibles són només \(4\). Si \(C_1\) i \(C_2\) són els centres de les dues circumferències i \(d\) és la distància entre els dos centres, aleshores:
| \(d \gt 2 r\) | \(\quad\Rightarrow\quad\) Circumferències exteriors |
| \(d = 2 r\) | \(\quad\Rightarrow\quad\) Circumferències tangents exteriors |
| \(0 \lt d \lt 2 r\) | \(\quad\Rightarrow\quad\) Circumferències secants |
| \(d=0\) | \(\quad\Rightarrow\quad\) Circumferències coincidents |
Exercici 2
Troba la posició relativa de les dues circumferències \(c_1:\,x^2+y^2-14x-2y+32=0\) i \(c_2:\,x^2+y^2+6x-10y-7=0\).
Exercici 3
Troba la posició relativa de les dues circumferències \(c_1:\,x^2+y^2+10x-65=0\) i \(c_2:\,x^2+y^2-2x-4y-5=0\).