Una circumferència és el lloc geomètric dels punts \((x,y)\) del pla, equidistants d'un altre punt \(C(a,b)\) que s'anomena centre de la circumferència. La distància \(r\) entre el centre i qualsevol dels punts de la circumferència s'anomena radi de la circumferència.
Partint d'aquesta definició es pot deduir la relació algebraica que verifiquen les coordenades \((x,y)\) dels punts de la circumferència.
|
\(\displaystyle \begin{align} d(C,P)=r \quad &\Rightarrow\quad \left| \vec{CP} \right|=r\\[10pt] &\Rightarrow\quad \sqrt{\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2}=r\\[10pt] &\Rightarrow\quad \fbox{\(\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=r^2\)} \end{align} \) |
Aquesta equació és l'equació reduïda de la circumferència amb centre en \(C(a,b)\) i radi \(r\). Si es desenvolupen els quadrats d'aquesta expressió s'obté:
\(\displaystyle \begin{align} \left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=r^2 \quad &\Rightarrow\quad x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2=r^2\\[10pt] &\Rightarrow\quad x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2=0\\[10pt] &\Rightarrow\quad \fbox{\(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\)} \end{align} \)
Aquesta altra equació rep el nom d'equació general de la circumferència. Els coeficients de les dues expressions estan relacionats per:
\(\displaystyle a=-\frac{D}{2} \quad\quad\quad b=-\frac{E}{2} \quad\quad\quad r=\sqrt{a^2+b^2-F} \)
Exemple 1
Troba l'equació de la circumferència de centre \(C(1,2)\) i radi \(r=5\).
Resolució
La forma reduïda és:
\(\displaystyle \left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=5^2 \quad\Rightarrow\quad \left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=25 \)
I la forma expandida:
\(\displaystyle \begin{align} \left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=25 \quad &\Rightarrow\quad x^2-2x+1+y^2-4y+4=25\\[10pt] &\Rightarrow\quad x^2+y^2-2x-4y-20=0 \end{align} \)
Quan s'estudia la posició d'un punt \(P\) respecte a una circumferència \(c\), poden donar-se tres casos:
El punt és de la circumferència si la distància del punt a la recta coincideix amb el radi. Per tant les coordenades del punt verifiquen l'equació de la circumferència.
\( d(P,C)=r \quad\Rightarrow\quad \left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=r^2 \quad\Rightarrow\quad x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 \)
El punt és interior a la circumferència si la distància del punt a la recta és menor que el radi.
\( d(P,C) \lt r \quad\Rightarrow\quad \left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2 \lt r^2 \quad\Rightarrow\quad x^2+y^2+Dx+Ey+F \lt 0 \)
El punt és exterior a la circumferència si la distància del punt a la recta és major que el radi.
\( d(P,C) \gt r \quad\Rightarrow\quad \left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2 \gt r^2 \quad\Rightarrow\quad x^2+y^2+Dx+Ey+F \gt 0 \)
Exercici 1
Troba l'equació de la circumferència de centre \(C(-1,-3)\) i que passa pel punt \(P(3,5)\).
Exercici 2
Troba l'equació de la circumferència de centre \(C(-2,5)\) i radi \(r=7\). Determina si el punt \(P(2,-1)\) és interior, exterior o de la circumferència.
Exercici 3
El segment que té per extrems els punts \(A(3,2)\) i \(B(7,-1)\) és un dels diàmetres d'una circumferència. Troba les equacions reduïda i general d'aquesta circumferència.
Exercici 4
Una circumferència té com a centre el punt \(C(-1,3)\) i radi \(r=\sqrt{10}\).
Es pot determinar el centre i el radi d'una circumferència a partir d'una equació general fent servir les igualtats següents:
\(\displaystyle a=-\frac{D}{2} \quad\quad\quad b=-\frac{E}{2} \quad\quad\quad r=\sqrt{a^2+b^2-F} \)
També es pot convertir l'equació general en una equació reduïda completant identitats notables tal i com es pot veure al següent exemple.
Exemple 2
Determina el centre i el radi de la circumferència d'equació \(x^2+y^2-8x+4y-25=0\).
Resolució
\(\displaystyle \begin{align} x^2+y^2-8x+4y-25=0 \quad & \Rightarrow \quad x^2-8x+y^2+4y=25 \\[8pt] & \Rightarrow \quad x^2-8x+16+y^2+4y+4=25+16+4 \\[8pt] & \Rightarrow \quad \left(x-4\right)^2+\left(y+2\right)^2=45 \\[8pt] & \Rightarrow \quad \left\lbrace \begin{array}{l} C(4,-2)\\R=3\sqrt{5} \end{array} \right. \end{align} \)
Exercici 5
Determina el centre i el radi de les següents circumferències
a) \(\left(x-5\right)^2+\left(y+1\right)^2=50\) |
Solució: | |
b) \(x^2+y^2-14x+4y+17=0\) |
Solució: | |
c) \(x^2+y^2-6y-16=0\) |
Solució: | |
d) \(12x^2+12y^2-8x+60y+43=0\) |
Solució: | |
e) \(x^2+y^2-6x-10y+83=0\) |
Solució: | |
f) \(x^2+y^2+12x-2y+37=0\) |
Solució: |
Donats tres punts \( P \), \( Q \) i \( R \) no alineats, aleshores existeix una única circumferència que passa pels tres punt. El centre de la circumferència és el circumcentre del triangle \( PQR \) i el radi és la distància des del circumcentre a qualsevol dels tres punts.
Exemple 3
Determina l'equació general de la circumferència que passa pels punts \(P(0,8)\), \(Q(12,20)\) i \(R(24,0)\).
Resolució
Hem de trobar el punt d'intersecció de dues qualssevol de les mediatrius.
La mediatriu del segment \(PQ\) té com a normal el vector \(\vec{PQ}=\left(12,12\right)\) i passa pel punt mitjà \(M_{PQ}(6,14)\).
\( 12x+12y-240=0 \quad\Rightarrow\quad x+y-20=0 \)
La mediatriu del segment \(PR\) té com a normal el vector \(\vec{PR}=\left(24,-8\right)\) i passa pel punt mitjà \(M_{PR}(12,4)\).
\( 24x-8y+256=0 \quad\Rightarrow\quad 3x-y+32=0 \)
El centre de la circumferència es troba resolent el sistema:
\( \left.\begin{array}{r} x+y-20=0 \\ 3x-y+32=0 \end{array}\right\rbrace \quad\Rightarrow\quad C(13,7) \)
I el radi és la distància des d'el centre a qualsevol dels punts:
\( r=\sqrt{170} \)
Per tant l'equació de la circumferència és:
\( \left( x-13 \right)^2+\left( y-7 \right)^2 =170 \quad\Rightarrow\quad \fbox{\( x^2+y^2-26x-14y+48=0 \)} \)
També es pot arribar a l'equació general \( x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 \) imposant que sigui verificada per cada un dels tres punts \( P \), \( Q \) i \( R \) i resolent el sistema de tres equacions i tres incògnites obtingut.
Exemple 4
Determina l'equació general \( x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 \) de la circumferència \(c\) que passa pels punts \(P(0,8)\), \(Q(12,20)\) i \(R(24,0)\) fent servir un sistema d'equacions.
Resolució
\( \left.\begin{array}{lcrcr} P(0,8) \in c & \Rightarrow & 0^2+8^2+0D+8E+F=0 & \Rightarrow & 8E+F=-64 \\[5pt] Q(12,20) \in c & \Rightarrow & 12^2+20^2+12D+20E+F=0 & \Rightarrow & 12D+20E+F=-544 \\[5pt] R(24,0) \in c & \Rightarrow & 24^2+0^2+24D+0E+F=0 & \Rightarrow & 24D+F=-576 \end{array}\right\rbrace \)
De la primera equació podem aïllar \(E\) en funció de \(F\):
\(\displaystyle E=-\frac{F}{8}-8\)
De la tercera equació podem aïllar \(D\) en funció de \(F\):
\(\displaystyle D=-\frac{F}{24}-24\)
I podem fer substitució amb aquestes expressions a la segona equació:
\(\displaystyle 12\cdot\left(-\frac{F}{24}-24\right) + 20\cdot\left(-\frac{F}{8}-8\right) + F=-544 \quad\Rightarrow\quad F=48 \)
I per tant:
\(\displaystyle \left.\begin{array}{r} \displaystyle E=-\frac{48}{8}-8=-14 \\[5pt] \displaystyle D=-\frac{48}{24}-24=-26 \end{array}\right\rbrace \quad\Rightarrow\quad \fbox{\( x^2+y^2-26x-14y+48=0 \)} \)
Exercici 6
Determina l'equació general \( x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 \) de la circumferència \(c\) que passa pels punts \(P(0,0)\), \(Q(8,2)\) i \(R(3,5)\)