Exercicis de nombres complexos II

Exercici 1 ⟲

Calcula en forma binòmica les següents sumes de nombres complexos:

	Solució:
	Solució:
	Solució:

Exercici 2 ⟲

Calcula en forma binòmica les següents restes de nombres complexos:

	Solució:
	Solució:
	Solució:

Exercici 3 ⟲

Calcula en forma binòmica els següents productes de nombres complexos:

	Solució:
	Solució:
	Solució:
	Solució:
	Solució:

Exercici 4 ⟲

Calcula en forma binòmica els següents quocients de nombres complexos:

	Solució:
	Solució:
	Solució:
	Solució:
	Solució:

Exercici 5

Calcula \(k\in\mathbb{R}\) perquè els següents resultats siguin nombres imaginaris purs:

a) \( \displaystyle \left( 5k-3\mathrm{i} \right) + \left( 2+2k\mathrm{i} \right) \)	Solució:	\( \displaystyle k=-\frac{2}{5} \)
b) \( \displaystyle \left( 3k-3\mathrm{i} \right) - \left( 2-4k\mathrm{i} \right) \)	Solució:	\( \displaystyle k=\frac{2}{3} \)
c) \( \displaystyle \left( k+3\mathrm{i} \right) \cdot \left( 2+k\mathrm{i} \right) \)	Solució:	\(k=0\)
d) \( \displaystyle \frac{k-2\mathrm{i}}{k+8\mathrm{i}} \)	Solució:	\(k=\pm 4\)

Exercici 6

Calcula en forma binòmica:

\(\displaystyle\frac{3-\mathrm{i}}{5+\mathrm{i}}+\frac{2+3\mathrm{i}}{7+4\mathrm{i}}-\frac{1+2\mathrm{i}}{3-2\mathrm{i}}\)

Solució:

Exercici 7

Troba el valor de \(\lambda \in \mathbb{R}\) que fa que el resultat de fer la divisió \(\displaystyle\frac{3+\lambda i}{2\lambda+4\mathrm{i}}\) tingui un afix representat a la bisectriu dels quadrants II i IV.

Solució:

Exercici 8

Calcula en forma binòmica:

a) \( \displaystyle \left( -6\mathrm{i} \right)^3 \)	Solució:	\( \displaystyle 216\mathrm{i} \)
b) \( \displaystyle \left( 3\mathrm{i} \right)^6 \)	Solució:	\( \displaystyle -729 \)
c) \( \displaystyle \left( 3+5\mathrm{i} \right)^2 \)	Solució:	\( \displaystyle -16+30\mathrm{i} \)
d) \( \displaystyle \left( 3+2\mathrm{i} \right)^3 \)	Solució:	\( \displaystyle -9+46\mathrm{i} \)
e) \( \displaystyle \left( 2-\mathrm{i} \right)^5 \)	Solució:	\( \displaystyle -38-41\mathrm{i} \)
f) \( \displaystyle \left( \frac{1}{2}+2\mathrm{i} \right)^4 \)	Solució:	\( \displaystyle \frac{161}{16}-15\mathrm{i} \)
g) \( \displaystyle \left( 1+\mathrm{i} \right)^{-1} \)	Solució:	\( \displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{i} \)
h) \( \displaystyle \left( 2+4\mathrm{i} \right)^{-1} \)	Solució:	\( \displaystyle \frac{1}{10}-\frac{1}{5}\mathrm{i} \)
i) \( \displaystyle \left( -2+2\mathrm{i} \right)^{-1} \)	Solució:	\( \displaystyle -\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\mathrm{i} \)
j) \( \displaystyle \left( 2-\mathrm{i} \right)^{-4} \)	Solució:	\( \displaystyle -\frac{7}{625}+\frac{24}{625}\mathrm{i} \)