Processing math: 100%

Exercicis de nombres complexos I

Exercici 1 ⟲

Calcula les següents arrels quadrades:

a) $\displaystyle \sqrt{-484}$	Solució:	$x = \pm22\,\mathrm{i}$
b) $\displaystyle \sqrt{-375}$	Solució:	$x = \pm5\sqrt{15}\,\mathrm{i}$
c) $\displaystyle \sqrt{-882}$	Solució:	$x = \pm7\sqrt{18}\,\mathrm{i}$
d) $\displaystyle \sqrt{-\frac{75}{48}}$	Solució:	$\displaystyle x = \pm\frac{5}{4}\,\mathrm{i}$

Exercici 2

Donat el nombre imaginari $z=\left( 3k-18 \right) + \left( 6+2k \right)\mathrm{i}$ , amb $k\in\mathbb{R}$ ,

quin és el valor de $k$ que fa que $z$ sigui un nombre real?,

Solució:
$k=-3$
i quin és el valor de $k$ que fa que $z$ sigui un nombre imaginari pur?

Solució:
$k=9$

Exercici 3

Resol en el conjunt $\mathbb{C}$ dels nombres complexos les següents equacions i representa gràficament els afixos de les solucions:

a) $x^2+16=0$	Solució:	0,0 $a_1=4\mathrm{i}$ $a_2=-4\mathrm{i}$ $b_1=2+3\mathrm{i}$ $b_2=2-3\mathrm{i}$ $c_1=-5+\mathrm{i}$ $c_2=-5-\mathrm{i}$ $d_1=-7+4\mathrm{i}$ $d_2=-7-4\mathrm{i}$
b) $x^2-4x+13=0$	Solució:
c) $x^2+10x+26=0$	Solució:
d) $x^2+14x+65=0$	Solució:

Exercici 4

Donats els nombres complexos $z_1=\left(3+2\lambda\right)+5\mathrm{i}$ i $z_2=6+\left(2\mu+7\right)\mathrm{i}$ , amb $\lambda\in\mathbb{R}$ i $\mu\in\mathbb{R}$ , troba $\lambda$ i $\mu$ perquè $z_1 = z_2$ .

Solució:

$\displaystyle\lambda=\frac{3}{2}\quad\quad\mu=-1$

Exercici 5

Escriu els nombres complexos següents en forma polar:

a) $\displaystyle z_1=-1-\sqrt{3}\mathrm{i}$	Solució:	$\displaystyle z_1=2_{-120^\circ}$
b) $\displaystyle z_2=\sqrt{8}-\sqrt{8}\mathrm{i}$	Solució:	$\displaystyle z_2=4_{-45^\circ}$
c) $\displaystyle z_3=5+12\mathrm{i}$	Solució:	$\displaystyle z_3=13_{67,38^\circ}$
d) $\displaystyle z_4=5\mathrm{i}$	Solució:	$\displaystyle z_4=5_{90^\circ}$
e) $\displaystyle z_5=-10$	Solució:	$\displaystyle z_5=10_{180^\circ}$

Exercici 6

Escriu els nombres complexos següents en forma binòmica:

a) $\displaystyle z_1=\sqrt{2}_{-135^\circ}$	Solució:	$\displaystyle z_1=-1-\mathrm{i}$
b) $\displaystyle z_2=6_{300^\circ}$	Solució:	$\displaystyle z_2=3-3\sqrt{3}\mathrm{i}$
c) $\displaystyle z_3=5_{0^\circ}$	Solució:	$\displaystyle z_3=5$
d) $\displaystyle z_4=2_{990^\circ}$	Solució:	$\displaystyle z_4=-2\mathrm{i}$

Exercici 7

Escriu en forma polar el nombre complex $z=-3\sqrt{3}-\sqrt{3}\mathrm{i}$ , el seu conjugat i el seu oposat.

Solució:

$\displaystyle \begin{array}{rcl} z&=&6_{-150^\circ}\\ \overline{z}&=&6_{150^\circ}\\ -z&=&6_{30^\circ} \end{array}$

Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-CompartirIgual 3.0 de Creative Commons