Exercicis de nombres complexos I

Exercici 1 ⟲

Calcula les següents arrels quadrades:

	Solució:
	Solució:
	Solució:
	Solució:

Exercici 2

Donat el nombre imaginari \(z=\left( 3k-18 \right) + \left( 6+2k \right)\mathrm{i}\), amb \(k\in\mathbb{R}\),

quin és el valor de \(k\) que fa que \(z\) sigui un nombre real?,

Solució:
\(k=-3\)
i quin és el valor de \(k\) que fa que \(z\) sigui un nombre imaginari pur?

Solució:
\(k=9\)

Exercici 3

Resol en el conjunt \(\mathbb{C}\) dels nombres complexos les següents equacions i representa gràficament els afixos de les solucions:

a) \(x^2+16=0\)	Solució:
b) \(x^2-4x+13=0\)	Solució:
c) \(x^2+10x+26=0\)	Solució:
d) \(x^2+14x+65=0\)	Solució:

Exercici 4

Donats els nombres complexos \(z_1=\left(3+2\lambda\right)+5\mathrm{i}\) i \(z_2=6+\left(2\mu+7\right)\mathrm{i}\), amb \(\lambda\in\mathbb{R}\) i \(\mu\in\mathbb{R}\), troba \(\lambda\) i \(\mu\) perquè \(z_1 = z_2\).

Solució:

Exercici 5

Escriu els nombres complexos següents en forma polar:

a) \(\displaystyle z_1=-1-\sqrt{3}\mathrm{i}\)	Solució:	\(\displaystyle z_1=2_{-120^\circ}\)
b) \(\displaystyle z_2=\sqrt{8}-\sqrt{8}\mathrm{i}\)	Solució:	\(\displaystyle z_2=4_{-45^\circ}\)
c) \(\displaystyle z_3=5+12\mathrm{i}\)	Solució:	\(\displaystyle z_3=13_{67,38^\circ}\)
d) \(\displaystyle z_4=5\mathrm{i}\)	Solució:	\(\displaystyle z_4=5_{90^\circ}\)
e) \(\displaystyle z_5=-10\)	Solució:	\(\displaystyle z_5=10_{180^\circ}\)

Exercici 6

Escriu els nombres complexos següents en forma binòmica:

a) \(\displaystyle z_1=\sqrt{2}_{-135^\circ}\)	Solució:	\(\displaystyle z_1=-1-\mathrm{i}\)
b) \(\displaystyle z_2=6_{300^\circ}\)	Solució:	\(\displaystyle z_2=3-3\sqrt{3}\mathrm{i}\)
c) \(\displaystyle z_3=5_{0^\circ}\)	Solució:	\(\displaystyle z_3=5\)
d) \(\displaystyle z_4=2_{990^\circ}\)	Solució:	\(\displaystyle z_4=-2\mathrm{i}\)

Exercici 7

Escriu en forma polar el nombre complex \( z=-3\sqrt{3}-\sqrt{3}\mathrm{i} \), el seu conjugat i el seu oposat.

Solució: