Donats dos nombres complexos en forma polar \(r_{\alpha}\) i \(s_{\beta}\), l'expressió per multiplicar-los es pot deduir a partir de la seva expressió trigonomètrica.
\(\begin{align} r_{\alpha} \cdot s_{\beta} &= r\cdot\left(\cos\alpha+\mathrm{i}\sin\alpha\right)\cdot s\cdot\left(\cos\beta+\mathrm{i}\sin\beta\right)\\[6pt] &= r\cdot s\cdot\left(\cos\alpha\,\cos\beta+\mathrm{i}\cos\alpha\,\sin\beta+\mathrm{i}\sin\alpha\,\cos\beta-\sin\alpha\,\sin\beta\right)\\[6pt] &= r\cdot s\cdot\Big[\left(\cos\alpha\,\cos\beta-\sin\alpha\,\sin\beta\right)+\mathrm{i}\,\left(\cos\alpha\,\sin\beta+\sin\alpha\,\cos\beta\right)\Big]\\[6pt] &= r\cdot s\cdot\Big[\cos\left(\alpha+\beta\right)+\mathrm{i}\,\sin\left(\alpha+\beta\right)\Big]\\[6pt] &= \left(r\cdot s\right)_{\alpha+\beta} \end{align}\)
El producte de dos nombres complexos en forma polar és un altre nombre polar que s'obté multiplicant-ne els mòduls i sumant-ne els arguments.
Exemple
Calcula en forma polar \(\left( 2+2\,\mathrm{i} \right)\cdot2_{180^{\circ}}\):
\( \left( 2+2\,\mathrm{i} \right)\cdot2_{180^{\circ}} =2\sqrt{2}_{45^{\circ}}\cdot2_{180^{\circ}} =4\sqrt{2}_{225^{\circ}} =4\sqrt{2}_{-135^{\circ}} \)
Donat un nombre complex en forma polar \(r_{\alpha}\), el seu invers és:
\(\begin{align} \dfrac{1}{r_{\alpha}} &= \dfrac{1}{r\cdot\left(\cos\alpha+\mathrm{i}\sin\alpha\right)}\\[6pt] &= \dfrac{1}{r}\cdot\dfrac{1}{\cos\alpha+\mathrm{i}\sin\alpha}\\[6pt] &= \dfrac{1}{r}\cdot\dfrac{\cos\alpha-\mathrm{i}\sin\alpha}{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}\\[6pt] &= \dfrac{1}{r}\cdot\left(\cos\alpha-\mathrm{i}\sin\alpha\right)\\[6pt] &= \left(\dfrac{1}{r}\right)_{-\alpha} \end{align}\)
L'invers d'un nombre complex en forma polar \(r_{\alpha}\) és un altre nombre complex, el radi del qual és l'invers de \(r\) i l'angle és l'oposat de \(\alpha\).
Exemple
Calcula en forma polar l'invers del nombre \(\left( -1+\sqrt{3}\,\mathrm{i} \right)\):
\( \dfrac{1}{-1+\sqrt{3}\,\mathrm{i}} = \dfrac{1}{2_{120^{\circ}}} = \left(\dfrac{1}{2}\right)_{-120^{\circ}} \)
Donats dos nombres complexos en forma polar \(r_{\alpha}\) i \(s_{\beta}\), la seva divisió és:
\(\begin{align} \dfrac{r_{\alpha}}{s_{\beta}} &= r_{\alpha}\cdot\dfrac{1}{s_{\beta}}\\[6pt] &= r_{\alpha}\cdot\left(\dfrac{1}{s}\right)_{-\beta}\\[6pt] &= \left(\dfrac{r}{s}\right)_{\alpha-\beta} \end{align}\)
La divisió de dos nombres complexos en forma polar és un altre nombre polar que s'obté dividint-ne els mòduls i restant-ne els arguments.
Exemple
Calcula en forma polar \(\dfrac{1+\sqrt{3}\,\mathrm{i}}{2+2\,\mathrm{i}}\):
\( \dfrac{1+\sqrt{3}\,\mathrm{i}}{2+2\,\mathrm{i}} =\dfrac{2_{60^{\circ}}}{2\sqrt{2}_{45^{\circ}}} = \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)_{15^{\circ}} = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)_{15^{\circ}} \)
Exercici 16
Calcula i expressa el resultat en forma polar:
a) \( 5_{84^{\circ}} \cdot 2_{30^{\circ}} \) |
Solució: | |
b) \( \left( 8_{45^{\circ}} \right)^{-1}\) |
Solució: | |
c) \( \left( 3+3\,\mathrm{i} \right) \cdot \left( 1+\sqrt{3}\,\mathrm{i} \right)\) |
Solució: | |
d) \(\dfrac{1+7\,\mathrm{i}}{4+3\,\mathrm{i}}\) |
Solució: |
Per calcular la potència enèsima d'un nombre complex expressat en forma polar només cal considerar que la potència és el producte de \(n\) vegades la base.
\( \left( r_{\alpha} \right)^n = \underset{ n \;\mathsf{vegades} }{ \underbrace {r_{\alpha} \cdot r_{\alpha} \cdot \ldots \cdot r_{\alpha}} } = \left( r^n \right)_{n\alpha}\)
Aquesta fórmula permet calcular les potències de una manera molt més simple.
Exemple
Si calculem \(\left(1+\mathrm{i}\right)^5\) en forma binòmica hem d'aplicar el binomi de Newton:
\( \begin{align} \left( 1+\mathrm{i} \right)^{5} &= 1\cdot1^5 + 5\cdot1^4\cdot\mathrm{i} +10\cdot1^3\cdot\mathrm{i}^2 +10\cdot1^2\cdot\mathrm{i}^3 +5\cdot1\cdot\mathrm{i}^4 +1\cdot\mathrm{i}^5 \\[6pt] &= 1 + 5\,\mathrm{i} - 10 - 10\,\mathrm{i} + 5 + \,\mathrm{i}\\[6pt] &= -4 - 4\,\mathrm{i} \end{align} \)
Si primer expressem la base en forma polar el càlcul de la potència esdevé més senzill.
\( \left( 1+\mathrm{i} \right)^{5} = \left( \sqrt{2}_{45^{\circ}} \right)^{5} = \left( 4\sqrt{2} \right)_{225^{\circ}} = -4 - 4\,\mathrm{i} \)
Exercici 17
Calcula i expressa el resultat en forma polar i en forma binòmica:
a) \( \left( -1+\mathrm{i} \right)^{12} \) |
Solució: | |
b) \( \left( \sqrt{3}+\mathrm{i} \right)^{5} \) |
Solució: |
Si en l'expressió per calcular la potència d'un nombre complex en forma polar s'escriu el nombre en forma trigonomètrica s'obté:
\( \left(r\cos\alpha+\mathrm{i}\,r\sin\alpha\right)^n = r^n\cos\left(n\alpha\right)+\mathrm{i}\,r^n\sin\left(n\alpha\right) \)
Aquesta expressió es coneix com a fórmula de De Moivre i permet deduir les identitats trigonomètriques dels angles múltiples d'una manera senzilla.
Exemple
Si calculem \(\left(\cos\alpha+\mathrm{i}\,\sin\alpha\right)^2\) fent servir el binomi de Newton:
\( \left(\cos\alpha+\mathrm{i}\,\sin\alpha\right)^2 =\cos^2\alpha+2\,\mathrm{i}\,\cos\alpha\,\sin\alpha-\sin^2\alpha =\left(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\right)+2\,\mathrm{i}\,\sin\alpha\,\cos\alpha \)
I si apliquem la fórmula de De Moivre:
\( \left(\cos\alpha+\mathrm{i}\,\sin\alpha\right)^2 = \cos\left(2\alpha\right)+\mathrm{i}\,\sin\left(2\alpha\right) \)
Si comparem les parts reals i les parts imaginàries de les dues expressions:
\( \begin{array}{l}\cos\left(2\alpha\right)=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha \\[6pt] \sin\left(2\alpha\right)=2\,\sin\alpha\,\cos\alpha \end{array}\)
Exercici 18
Desenvolupa l'expressió \(\left(\cos\alpha+\mathrm{i}\,\sin\alpha\right)^3\) amb la fórmula del binomi de Newton.
Solució:Calcula l'expressió \(\left(\cos\alpha+\mathrm{i}\,\sin\alpha\right)^3\) amb la fórmula de De Moivre.
Solució:Compara les expressions dels dos apartats anteriors per deduir les fórmules del sinus i el cosinus de l'angle triple.
Solució: