Cada nombre complex determina un afix del pla complex i un vector posició associat. La suma de nombres complexos poden interpretar-se com la suma d'aquests vectors, és a dir, es fa sumant per separat les parts real i les parts imaginàries.
\( \left(a+b\,\mathrm{i}\right) + \left(a+b\,\mathrm{i}\right) = (a + c)+(b + d)\,\mathrm{i} \)
En conseqüència, la suma de nombres complexos compleix les mateixes propietats que la suma de vectors, és a dir:
L'existència de l'oposat permet definir la resta de nombres complexos, ja que:
\(z_1-z_2=z_1+(-z_2)\)
Per tant:
\( \left(a+b\,\mathrm{i}\right) \pm \left(a+b\,\mathrm{i}\right) = (a \pm c)+(b \pm d)\,\mathrm{i} \)
Exemple
Donats els nombres complexos \(z_1=5-7\,\mathrm{i}\), \(z_2=4-3\,\mathrm{i}\) i \(z_3=6-\,\mathrm{i}\), calcula el nombre complex \(z=z_1+z_2-z_3\).
Solució:
\(\begin{align} z &=z_1+z_2-z_3 \\[8pt] &= \left( 5-7\,\mathrm{i} \right) + \left( 4-3\,\mathrm{i} \right) - \left( 6-\,\mathrm{i} \right) \\[8pt] &= \left( 5+4-6 \right)+\left( -7-3+1 \right)\,\mathrm{i} \\[8pt] &= 3-9\,\mathrm{i} \\[8pt] \end{align}\)
Exercici 5
Calcula:
a) \(\left( -3+2\,\mathrm{i} \right) + \left( -6-4\,\mathrm{i} \right)\) |
Solució: | |
c) \(\left( 4-6\,\mathrm{i} \right) - \left( -2-5\,\mathrm{i} \right)\) |
Solució: | |
d) \(\left( 3+\,\mathrm{i} \right) + \left( 5-\,\mathrm{i} \right)\) |
Solució: |
El producte de dos nombres complexos és un altre nombre complex que s'obté aplicant la propietat distributiva al producte de les formes binòmiques dels dos nombres i fent servir que \( \mathrm{i}^2=-1 \).
\( \begin{align} \left(a+b\,\mathrm{i}\right) \cdot\left(c+d\,\mathrm{i}\right) &= ac + ad\,\mathrm{i} + bc\,\mathrm{i} + bd\,\mathrm{i}^2 \\[8pt] &= ac + ad\,\mathrm{i} + bc\,\mathrm{i} - bd \\[8pt] &= \left( ac-bd \right) + \left( ad+bc \right)\,\mathrm{i} \end{align} \)
Exemple
Donats els nombres complexos \(z_1=3+8\,\mathrm{i}\) i \(z_2=5-4\,\mathrm{i}\), calcula el nombre complex \(z = z_1 \cdot z_2\).
Solució:
\(\begin{align} z &=z_1 \cdot z_2 \\[8pt] &= \left( 3+8\,\mathrm{i} \right) \cdot \left( 5-4\,\mathrm{i} \right) \\[8pt] &= 15-12\,\mathrm{i}+40\,\mathrm{i}-32\,\mathrm{i}^2 \\[8pt] &= 15-12\,\mathrm{i}+40\,\mathrm{i}+32 \\[8pt] &= 47+28\,\mathrm{i} \\[8pt] \end{align}\)
Exercici 6
Calcula:
a) \(\left( 3+4\,\mathrm{i} \right) \cdot \left( 2+7\,\mathrm{i} \right)\) |
Solució: | |
b) \(5 \cdot \left( -3+4\,\mathrm{i} \right)\) |
Solució: | |
c) \(2\,\mathrm{i} \cdot \left( 8+3\,\mathrm{i} \right)\) |
Solució: | |
d) \(\left( 6-2\,\mathrm{i} \right) \cdot \left( 3-5\,\mathrm{i} \right)\) |
Solució: | |
e) \(\left( 7+4\,\mathrm{i} \right) \cdot \left( 7-4\,\mathrm{i} \right)\) |
Solució: |
Exercici 7
Donat un nombre complex \(z=a+b\,\mathrm{i}\) i el seu conjugat \(\overline{z}=a-b\,\mathrm{i}\), demostra que la seva suma i el seu producte és un nombre real.
El producte de nombres complexos verifica les propietats:
Per calcular l'element invers d'un nombre complex \(z=a+b\,\mathrm{i}\) es multiplica i es divideix pel conjugat \(\overline{z}=a-b\,\mathrm{i}\). D'aquesta manera s'aconsegueix la seva expressió binòmica.
\( \dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{z}\cdot\dfrac{\overline{z}}{\overline{z}} =\dfrac{1}{a+b\,\mathrm{i}}\cdot\dfrac{a-b\,\mathrm{i}}{a-b\,\mathrm{i}} =\dfrac{a-b\,\mathrm{i}}{a^2+b^2}=\dfrac{a}{a^2+b^2}-\dfrac{b\,\mathrm{i}}{a^2+b^2} \)
Aquesta expressió es pot calcular per qualsevol nombre complex excepte quan el denominador \(a^2+b^2\) és igual a \(0\). Per tant l'únic nombre complex que no té invers és \(z=0\).
Exemple
Calcula l'invers del nombre complex \(z=3+6\,\mathrm{i}\).
Solució:
Per calcular l'invers mutipliquem i dividim pel conjugat de \(\overline{z}\).
\( \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{3+6\,\mathrm{i}} \cdot \dfrac{3-6\,\mathrm{i}}{3-6\,\mathrm{i}} = \dfrac{3-6\,\mathrm{i}}{3^2+6^2} = \dfrac{3-6\,\mathrm{i}}{45} = \dfrac{1}{15} - \dfrac{2}{15}\mathrm{i} \)
Exercici 8
Calcula l'invers dels següents nombres:
a) \(z_1 = 1-3\,\mathrm{i}\) |
Solució: | |
b) \(z_2 = 4+2\,\mathrm{i}\) |
Solució: | |
c) \(z_3 = \mathrm{i}\) |
Solució: |
L'existència de l'element invers permet definir la divisió de nombres complexos. Dividir entre un nombre complex \(z\) és el mateix que multiplicar pel seu invers. Per tant:
\( \begin{align} \dfrac{a+b\,\mathrm{i}}{c+d\,\mathrm{i}} &= \dfrac{a+b\,\mathrm{i}}{c+d\,\mathrm{i}} \cdot \dfrac{c-d\,\mathrm{i}}{c-d\,\mathrm{i}} \\[8pt] &= \dfrac{ac-ad\,\mathrm{i}+bc\,\mathrm{i}-bd\,\mathrm{i}^2}{c^2+d^2} \\[8pt] &= \dfrac{ac-ad\,\mathrm{i}+bc\,\mathrm{i}-bd\,(-1)}{c^2+d^2} \\[8pt] &= \dfrac{\left(ac+bd\right)+\left(bc-ad\right)\,\mathrm{i}}{c^2+d^2} \\[8pt] &= \dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}+\dfrac{bc-ad}{c^2+d^2}\mathrm{i} \end{align} \)
Exemple
\( \begin{align} \dfrac{4-8\,\mathrm{i}}{4-6\,\mathrm{i}} &= \dfrac{4-8\,\mathrm{i}}{4-6\,\mathrm{i}} \cdot \dfrac{4+6\,\mathrm{i}}{4+6\,\mathrm{i}} \\[8pt] &= \dfrac{16+24\,\mathrm{i}-32\,\mathrm{i}-48\,\mathrm{i}^2}{4^2+6^2} \\[8pt] &= \dfrac{16+24\,\mathrm{i}-32\,\mathrm{i}+48}{52} \\[8pt] &= \dfrac{64-8\,\mathrm{i}}{52} \\[8pt] &= \dfrac{16}{13}-\dfrac{2}{13}\mathrm{i} \end{align} \)
Exercici 9
Calcula:
a) \(\dfrac{3+5\,\mathrm{i}}{2+\mathrm{i}}\) |
Solució: | |
b) \(\dfrac{-2-\,\mathrm{i}}{3+3\mathrm{i}}\) |
Solució: | |
c) \(\dfrac{7+4\,\mathrm{i}}{\mathrm{i}}\) |
Solució: | |
d) \(\dfrac{2\,\mathrm{i}}{2+4\,\mathrm{i}}\) |
Solució: |
Les potències amb exponent natural de la unitat imaginària es calculen fent servir que \(\mathrm{i}^2=-1\). Per exemple:
\(\mathrm{i}^{3} = \mathrm{i}^{2}\cdot\mathrm{i} = -1\cdot\mathrm{i} = -\mathrm{i} \)
Exercici 10
Calcula:
a) \( \mathrm{i}^{4} \) |
Solució: | |
b) \( \mathrm{i}^{5} \) |
Solució: | |
c) \( \mathrm{i}^{6} \) |
Solució: | |
d) \( \mathrm{i}^{7} \) |
Solució: |
Només hi ha quatre únics resultats que es repeteixen de manera cíclica. Això permet calcular qualsevol potència de \(\mathrm{i}\) amb un exponent natural.
Exemple
\(\mathrm{i}^{483} = \mathrm{i}^{4\cdot120+3} = \left(\mathrm{i}^{4}\right)^{120}\cdot\mathrm{i}^3 = 1\cdot\mathrm{i}^3 = -\mathrm{i} \)
Amb exponent \(0\) es verifica que:
\( \mathrm{i}^0 = 1 \)
Amb exponents enters negatius també es poden calcular les potències de la unitat imaginària. Per exemple
\( \begin{align} & \mathrm{i}^{-1} = \dfrac{1}{\mathrm{i}} = \dfrac{1}{\mathrm{i}} \cdot \dfrac{\mathrm{i}}{\mathrm{i}} = -\mathrm{i}\\[6pt] & \mathrm{i}^{-2} = \dfrac{1}{\mathrm{i}^2} = \dfrac{1}{-1} = -1 & \ldots \end{align} \)
Exercici 11
Calcula:
a) \( \mathrm{i}^{-3} \) |
Solució: | |
b) \( \mathrm{i}^{-4} \) |
Solució: | |
c) \( \mathrm{i}^{-5} \) |
Solució: | |
d) \( \mathrm{i}^{-6} \) |
Solució: |
Les potències de la unitat imaginària amb exponents enters negatius també es repeteixen cíclicament. Tots aquests resultats es poden resumir en la següent expressió:
|
\( \mathrm{i}^n=\left\lbrace\begin{array}{rl} 1 & \mathsf{si}\; n=4m \\[6pt] \mathrm{i} & \mathsf{si}\; n=4m+1\\[6pt] -1 & \mathsf{si}\; n=4m+2 \\[6pt] -\mathrm{i} & \mathsf{si}\; n=4m+3 \\[6pt] \end{array}\right.\quad\quad\quad(n,m\in\mathbb{Z}) \) |
Exemple
\(\mathrm{i}^{-67} = \mathrm{i}^{4\cdot(-17)+1} = \left(\mathrm{i}^{4}\right)^{-17}\cdot\mathrm{i}^1 = 1\cdot\mathrm{i}^1 = \mathrm{i} \)
Exercici 12
Calcula:
a) \( \mathrm{i}^{56} \) |
Solució: | |
b) \( \mathrm{i}^{111} \) |
Solució: | |
c) \( \mathrm{i}^{-81} \) |
Solució: | |
d) \( \mathrm{i}^{-74} \) |
Solució: |
Per calcular potències d'un nombre complex en forma binòmica es pot fer servir l'expressió del binomi de Newton, tenint en compte els resultats de les potències del nombre \(\mathrm{i}\) que van apareixent.
Exemple
\( \begin{align} \left( 2+5\,\mathrm{i}\right)^2 &= 2^2+2\cdot2\cdot\left(5\,\mathrm{i}\right)+\left(5\,\mathrm{i}\right)^2 \\[6pt] &= 4+20\,\mathrm{i}-25 \\[6pt] &= -21+20\,\mathrm{i} \end{align} \)
Exemple
\( \begin{align} \left( 4-2\,\mathrm{i}\right)^3 &= 1\cdot4^3-3\cdot4^2\cdot\left(2\,\mathrm{i}\right)^1+3\cdot4^1\cdot\left(2\,\mathrm{i}\right)^2-1\cdot\left(2\,\mathrm{i}\right)^3 \\[6pt] &= 64-96\,\mathrm{i}+48\,\mathrm{i}^2-8\,\mathrm{i}^3 \\[6pt] &= 64-96\,\mathrm{i}-48+8\,\mathrm{i} \\[6pt] &= 16-88\,\mathrm{i} \end{align} \)
Exercici 13
Calcula:
a) \( \left(3-2\,\mathrm{i}\right)^4 \) |
Solució: | |
b) \( \left(5+4\,\mathrm{i}\right)^3 \) |
Solució: | |
c) \( \left(1+\,\mathrm{i}\right)^5 \) |
Solució: |
Exercici 14
Calcula:
a) \( \left(2+3\,\mathrm{i}\right)\cdot\left(5-2\,\mathrm{i}\right)-\left(4-3\,\mathrm{i}\right) \) |
Solució: | |
b) \( \dfrac{5+10\,\mathrm{i}}{4-3\,\mathrm{i}}-\dfrac{20-5\,\mathrm{i}}{4+3\,\mathrm{i}} \) |
Solució: | |
c) \( \left( 5+6\,\mathrm{i} \right)^2+\left( 11-6\,\mathrm{i} \right) \) |
Solució: |
Exercici 15
Representa gràficament els afixos dels següents nombres complexos:
\(z_1=3+2\,\mathrm{i} \\[6pt] z_2=\mathrm{i}\cdot z_1 \\[6pt] z_3=\mathrm{i}^2\cdot z_1 \\[6pt] z_4=\mathrm{i}^3\cdot z_1\)
Solució: |
|