El conjunt dels nombres complexos \(\mathbb{C}\) és una extensió del conjunt dels nombres reals \(\mathbb{R}\), és a dir, és un conjunt que conté a \(\mathbb{R}\).
\(\mathbb{R} \subset \mathbb{C}\)
Aquest nou conjunt s'introdueix amb l'objectiu de que totes les equacions polinòmiques tinguin solució, a diferència del que passa amb els nombres reals. L'equació polinòmica més senzilla sense solució real és l'equació de segon grau:
\(x^2+1=0\)
El motiu és que les solucions haurien de ser \(x=\pm\sqrt{-1}\) i l’arrel quadrada de \(-1\) no existeix dins del conjunt dels nombres reals. Per tant, \(\sqrt{-1}\) hauria de formar part d'aquest nou conjunt. Aquesta nova entitat matemàtica s'anomena unitat imaginària i es denota amb el símbol \(\mathrm{i}\). D'aquesta manera l'arrel quadrada de qualsevol nombre negatiu es pot expressar en funció d'aquesta \(\mathrm{i}\). Per exemple:
\(\sqrt{-25}=\sqrt{25}\cdot\sqrt{-1}=5\,\mathrm{i}\)
Exercici 1
Expressa, fent servir la unitat imaginària, les següents arrels quadrades:
Exercici 2
Resol, en el conjunt \(\mathbb{C}\) dels nombres complexos, les equacions:
Un nombre complex és una expressió de la forma \(z=a+b\,\mathrm{i}\), on \(a\) i \(b\) són nombres reals. El conjunt \(\mathbb{C}\) és el conjunt de tots els nombres complexos.
\( \mathbb{C} = \Big\lbrace a+b\,\mathrm{i} \,|\,a,b\in\mathbb{R} \Big\rbrace \)
Donat un nombre complex \(z=a+b\mathrm{i}\) es diu que \(a\) és la seva part real i \(b\) la seva part imaginària.
\( z=a+b\,\mathrm{i} \quad\Leftrightarrow\quad \left\lbrace \begin{array}{} \mathrm{Re}(z)=a \\[8pt] \mathrm{Im}(z)=b \end{array}\right.\)
Dos nombres complexos són iguals si tenen la mateixa part real i la mateixa part imaginària.
\( z_1=z_2 \quad\Leftrightarrow\quad \left\lbrace \begin{array}{} \mathrm{Re}(z_1)=\mathrm{Re}(z_2) \\[8pt] \mathrm{Im}(z_1)=\mathrm{Im}(z_2) \end{array}\right.\)
Els nombres reals es poden interpretar com nombres complexos amb la part imaginària nul·la, per exemple \(5=5+0\,\mathrm{i}\). Per tant el conjunt dels nombres reals està inclòs dins del dels complexos.
\(\mathbb{R}\subset\mathbb{C}\)
Els nombres imaginaris purs són els nombres complexos amb la part real nul·la. Per exemple \(-4=0-4\,\mathrm{i}\). Per tant el conjunt \(\mathbb{I}\) dels nombres imaginaris també està inclòs dins del dels complexos.
\(\mathbb{I}\subset\mathbb{C}\)
El pla complex és una eina per ajudar a visualitzar el conjunt dels nombres complexos. És un pla cartesià en què es representa la part real d'un nombre complex a l'eix d'abscisses i la part imaginària a l'eix d'ordenades. Els eixos també reben el nom d'eix real i eix imaginari. Amb ajuda d'aquests eixos qualsevol nombre \(z=a+b\mathrm{i}\) complex pot ser representat per un punt \(\left( a,b \right)\) en aquest pla complex. Aquest punt s'anomena afix del nombre complex.
Dos nombres complexos són conjugats l'un de l'altre si les seves parts reals són iguals i les seves parts conjugades són oposades. Els afixos de dos nombres conjugats són simètrics respecte de l'eix real. El conjugat d'un nombre complex \(z\) es designa per \(\overline{z}\), de manera que si \(z=a+b\,i\), aleshores \(\overline{z}=a-b\,i\).
Dos nombres complexos són oposats l'un de l'altre si les seves parts reals són oposades i les seves parts conjugades són oposades també. Els afixos de dos nombres oposats són simètrics respecte de l'origen de coordenades. L'oposat d'un nombre complex \(z\) es designa per \(-z\), de manera que si \(z=a+b\,i\), aleshores \(-z=-a-b\,i\).
Exemple
Representa gràficament els afixos de les solucions de l'equació \(z^2+6z+10=0\).
Solució:
Apliquem la fórmula per resoldre equacions de segon grau
\( z = \dfrac{-6\pm\sqrt{6^2-4\cdot1\cdot10}}{2} = \dfrac{-6\pm\sqrt{-4}}{2} = \dfrac{-6\pm2\,\mathrm{i}}{2} =-3\pm\mathrm{i} \)
Les solucions d'aquesta equació de segon grau són dos nombres complexos conjugats
\( \begin{array}{l}z_1=-3+\mathrm{i} \\[8pt] z_2=-3-\mathrm{i} \end{array} \)
Exercici 3
Resol en el conjunt \(\mathbb{C}\) dels nombres complexos les següents equacions i representa gràficament els afixos de les solucions:
| \(a^2+9=0\) | Solució: |
|
| \(b^2-2b+5=0\) | Solució: |
|
| \(c^2-2c-15=0\) | Solució: |
|
| \(d^2+12d+45=0\) | Solució: |
Els nombres complexos es poden representar amb diferents expressions. Un nombre complex expressat com \(z=a+b\,\mathrm{i}\) es diu que està escrit en forma binòmica. També es freqüent expressar el nombre complex mitjançant les coordenades del seu afix, \(z=(a,b)\).
D'altra banda, cada nombre complex \(z\) determina un vector al pla complex unint l'origen de coordenades amb l'afix de \(z\). Aquest vector es pot determinar a partir del seu mòdul \(r\) i el seu argument \(\alpha\). L'expressió del nombre complex a partir del mòdul i l'argument del vector associat rep el nom de forma polar i es representa \(z=r_{\alpha}\).
El mòdul i el radi estan relacionats amb la part real i la part imaginària del nombre complex mitjançant igualtats de canvi de coordenades. Si les expressions \( z=a+b\,\mathrm{i} \) i \( z=r_{\alpha} \) són les formes binòmica i polar d'un mateix nombre complex, aleshores:
|
\(\bbox[15px,border:1px solid]{\begin{array}{l} \mathsf{De\;F.B.\;a\;F.P.} \\[12pt] r=\sqrt{a^2+b^2} \\[8pt] \alpha=\arctan\dfrac{b}{a} \end{array}}\) \(\bbox[15px,border:1px solid]{\begin{array}{l} \mathsf{De\;F.P.\;a\;F.B.} \\[12pt] a=r\cos\alpha \\[8pt] b=r\sin\alpha \end{array}}\) |
En el càlcul amb nombres complexos per determinar un angle \(\alpha\) es fa servir habitualment l'argument principal, és a dir l'argument que verifica \( -180^{\circ} \lt \alpha \le 180^{\circ} \). Tot i aquesta restricció l'arc tangent proporciona dos angles possibles. L'angle correcte es dedueix a partir del quadrant on està situat l'afix del nombre complex. També es pot deduir a partir de la següent funció.
\( \alpha=\left\lbrace\begin{array}{l} \arctan{\dfrac{y}{x}} & \text{si}\; x\gt0 \\[6pt] \arctan{\dfrac{y}{x}} +180^{\circ} & \text{si}\; x\lt0 \,\land\, y\ge0 \\[6pt] \arctan{\dfrac{y}{x}} -180^{\circ} & \text{si}\; x\lt0 \,\land\, y\lt0 \\[6pt] 90^{\circ} & \text{si}\; x=0 \,\land\, y\gt0 \\[6pt] -90^{\circ} & \text{si}\; x=0 \,\land\, y\lt0 \end{array}\right. \)
Altra forma habitual d'expressar els nombres complexos és la forma trigonomètrica que s'obté substituint a la forma binòmica les parts real i imaginària per les seves expressions en funció del mòdul i l'argument.
\( z = r\cos\alpha+\mathrm{i}\,r\sin\alpha = r\,\left(\cos\alpha+\mathrm{i}\,\sin\alpha\right) \)
Exemple
El nombre complex complex en forma polar \(z=4_{30^{\circ}}\) es pot escriure en forma binòmica com:
\( \begin{align} z &= 4_{30^{\circ}}\\[8pt] &= 4\,\left( \cos{30^{\circ}} + \mathrm{i}\sin{30^{\circ}} \right)\\[8pt] &= 4\,\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \mathrm{i} \dfrac{1}{2} \right)\\[8pt] &= 2\sqrt{3}+2\,\mathrm{i}\\[8pt] \end{align} \)
Exemple
Escriu el nombre complex \(z=-1-\sqrt{3}\,\mathrm{i}\) en forma polar.
Solució:
El mòdul d'aquest nombre complex és:
\( r = \sqrt{\left(-1\right)^2+\left(-\sqrt{3}\right)^2} = 2 \)
Per calcular l'argument intentem fer servir l'arc tangent:
\( \,\alpha=\arctan\dfrac{-\sqrt{3}}{-1} =\arctan\,\sqrt{3}=60^{\circ} \)
La nostra solució hauria de ser del tercer quadrant i aquest angle és del primer quadrant. Ho corregim restant \(180^{\circ}\). Per tant l'argument és \(\alpha=-120^{\circ}\) i el nombre complex es pot escriure com:
\(z=2_{-120^{\circ}}\)