Una funció lineal de dues variables és una funció amb dues variables independents \(x\) i \(y\) i amb una variable dependent \(z=F(x,y)\) que es calcula amb una expressió algebraica del tipus:
\(F(x,y)=ax+by\) ,
on \(a\) i \(b\) són nombres reals diferents de zero. També es pot escriure:
\(z=ax+by\) .
Les dues variables independents \(x\) i \(y\) es poden interpretar com les coordenades d'un punt \((x,y)\) del pla. Es pot veure que la funció està definida per a qualsevol punt \((x,y)\) i per tant el domini està format per tots els punts del pla.
\(\text{dom}\;F(x,y) = \mathbb{R}^2\)
A més la funció es calcula de manera unívoca. O el que és el mateix, la imatge d'un punt és única.
Exemple 6
Amb la funció lineal \(F(x,y)=5x-4y\) podem calcular la imatge dels punts \((3,4)\), \((-2,0)\) i \((-1,-1)\).
\(\displaystyle \begin{array}{lll} F(3,4)=5·3-4·4= -1 &\Rightarrow &\style{font-family:'Open Sans'}{\text{La imatge de }}(3,4)\style{font-family:'Open Sans'}{\text{ és }}-1\\ F(-2,0)=5·(-2)-4·0= -10 &\Rightarrow &\style{font-family:'Open Sans'}{\text{La imatge de }}(-2,0)\style{font-family:'Open Sans'}{\text{ és }}-10\\ F(-1,-1)=5·(-1)-4·(-1)= -1 &\Rightarrow &\style{font-family:'Open Sans'}{\text{La imatge de }}(-1,-1)\style{font-family:'Open Sans'}{\text{ és }}-1 \end{array} \)
Per a cada valor de \(z\) és poden calcular antiimatges, per tant el conjunt imatge o recorregut està format por tots els nombres reals.
\(\text{rec}\;F(x,y) = \mathbb{R}\)
Aquestes antiimatges no són úniques. Si es pren un valor concret \(z=k\), tenim que \(F(x, y)=k\), d’on s’obté l’equació \(ax+by=k\), que és l’equació d’una recta del pla.
Exemple 7
Amb la funció lineal de l'exemple anterior \(F(x,y)=5x-4y\) volem calcular les antiimatges de \(-1\).
\( F(x,y)=-1 \quad\Rightarrow\quad 5x-4y=-1 \)
Les antiimatges són els infinits punts de la recta \(5x-4y=-1\) del pla \(\mathbb{R}^2 \)
En els problemes de programació lineal l'ojectiu és optimitzar una funció lineal de dues variables, que anomenarem funció objectiu sotmesa a un conjunt de restriccions en forma de sistema de desigualtats lineals de les dues variables.
Exemple 8
Volem trobar el màxim i el mínim de la funció objectiu \(F(x,y)=4x+y\) sotmesa a les restriccions:
\(\displaystyle \left. \begin{array}{l} x \ge 1 \\[5pt] x+3y \ge 4 \\[5pt] x+y \le 5 \\[5pt] 3x+2y \le 12 \end{array} \right\rbrace \)
La regió factible del sistema d'inequacions és un polígon convex o bé una regió convexa no fitada delimitada per una rectes, semirectes i segments. I la solució òptima del problema, si existeix, es troba a la frontera de la regió factible.